i ,ii. COLLIGNON. — NOTB SUS l'eXISTKNCE i.i.h.mi. I Ulul i; Dl RECTANGLE 98 



ne sont que la reproduction du triangle primitif el de sa hauteur l'.ll: 

 de même C'B C et sa hauteur P» Il est une seconde reproduction de la 

 figure APC avec la hauteur l'.ll On a doue à lu Gaie BU PïP B il . et 



\ll Cil' Cil. Si l'on joint l'.ll', B'B", on forme deux rect œgles Mil T.'p, 

 el Mil B B', dont les base* sont égales HH'=H'H" elles hauteurs Pll,l;ir, 

 P. Il égales. Les angles PP. IF, B"B'H' étant droits dans ces deux rectangles 

 jomtifs, les deux droites lï'lî, B'B" sont en prolongement l'une de l'autre. 

 I in a. de plus. BB' = IIH' = AC. Le triangle BCB' est donc encore égal au 

 triangle donné ABC, comme ayant des côtés égaux chacun à chacun. De 

 même, le triangle B'C'B" est égal au même triangle ABC. Les angles BB'G, 

 CP'C, C'B'B" sont donc égaux respectivement aux trois angles du triangle 

 APC. Peur somme est égale à deux angles droits, puisque les côtés 

 extrêmes de ces trois angles, réunis joinlivement autour du point P. . 

 sont en ligne droite. Il en est de même des angles du triangle donné, et le 

 théorème est démontré. 



La figure nous oll're un second exemple d'un mouvement de translation*. 

 Si l'on t'ait glisser la droite AC le long de la droite AX, et qu'on la trans- 

 porte d'abord en CC, puis en C'C", le point B, lié invariablement au côté 

 AC, se transporte d'abord en B', puis en B", en décrivant des droites BB', 

 puis P>T>", égales et parallèles aux déplacements AC, CC du point A ainsi 

 qu'aux déplacements CC, C'C" du point C; el l'on obtient le théorème : 



Lorsqu'une droite d'une figure de forme invariable mobile dans .son plan, 

 glisse le long de sa propre direction*, tous les points de la figure subis.se/il des 

 mouvements rectilignes, parallèles à la droite directrice, et les chemins par- 

 courus pur lis divers points pendant un même temps sont égaux. 



Théorème. — Toutes les transversales que l'on peut employer pour tracer 



par un point A une parallèle euclidienne à une droite donnée VA'., conduisent 



à une seule et même droite EF (fig. 9). 



Par le point A menons la transver- 



sale arbitraire AD, et faisons l'angle 



CAD = ADC. La droite AE sera la 



parallèle euclidienne à BC correspon- 



^ r B d g c 



dante à la transversale AD. 



Fig. 9. 



Par le même point, menons une 

 seconde transversale AG, et formons l'angle GAF égal à. l'angle A.GB. La 

 droite AF sera la parallèle euclidienne à BC correspondante à la transver- 

 sale AG. La somme des angles du triangle ADG étant égale à deux angles 

 droits, il en est de même de la somme des angles EAD, DAG, GAF, qui 

 leur sont respectivement égaux, et par suite les deux droites AE, A F sont 

 en prolongement l'une de l'autre, et ne forment qu'une seule et même 

 droite EF. 



