96 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Remarque. — - 1° L'ensemble formé par deux parallèles euclidiennes peut 

 être considéré comme une figure invariable, qui peut glisser sans défor- 

 mation le long de l'une ou de l'autre des parallèles composantes; la resti- 

 tution de la figure formée par les parallèles s'opère d'une manière continue 

 dans quelque position qu'on arrête la figure mobile ; 



2° On pourrait définir la parallèle euclidienne menée par un point A à 

 une droite BC, la position que prendrait la droite BC, supposée rattachée 

 solidairement à une transversale quelconque AD, et entraînée par celle-ci 

 dans un glissement le long de sa propre direction DA, jusqu'à ce que le 

 point D vienne occuper le point A. 



Jusqu'ici nous avons toujours opéré sur des figures finies, limitées en 

 tous sens, et sans faire entrer dans nos raisonnements aucune considération 

 tirée des régions inaccessibles du plan où elles sont tracées; il en résulte 

 que tout ce que nous affirmons est susceptible de vérification effective. 

 Pour rattacher le postulatum à notre théorie, il est indispensable de sortir 

 de cette réserve ; car la nouvelle proposition vise un point de rencontre de 

 droites, qui peut être indéfiniment éloigné. Ce sera l'objet de notre dernier 

 paragraphe. 



M- 



Commençons par établir un lemme préliminaire. 



Lemme. — Étant données deux droites OX, OY (fig. 10), formant un 

 angle aigu quelconque YOX, si l'on prend sur la droite OY deux points 

 M, M' tels que l'on ait 



0M' = 0MX2, 



et qu'on abaisse des points M et M' les perpendiculaires MA, M'A' sur la 



droite OX, perpendiculaires qui tom- 



Y 



^^ beront nécessairement dans l'angle 

 aigu, on aura 



M'A' = MAX 2. 



Menons au point M la droite MX 



parallèle euclidienne à OX, en fai- 

 sant l'angle YMX égal à l'angle YOX. 

 La droite MX sera perpendiculaire à MA, et coupera M'A' en un point N, 

 dont la distance NA' à OX sera égale à MA. Car les deux parallèles sont 

 partout équidistantes. Les triangles M'MN et MO A, rectangles en A et en N, 



Fig. 10. 



