KD. COLLIGNON. — NOTE SDH L'EXISTENCE GÉOMÉTRIQUE Dl RECTANGLE ( .'T 



ont. par hypothèse. dos hypoténuses égales, O.M M.M', et les angles M'M.N . 

 \1< »A égaux par construction. On a donc M'N = MA, et par suite 



M'A' = M'N + NA' = MA > 2. 



Par conséquent, en doublant la longueur OM, on double la distance MA . 

 du point M à la droite 0\. La môme construction, appliquée à la longueur 

 UM'. conduirait à un point M' ; , dont la distance MA à UX serait double 

 de M'A', c'est-à-dire quadruple de MA ; et, en continuant ainsi à doubler la 

 dernière distance employée, on arrive à celte conclusion : si l'on prend 

 sur OY une longueur 



0a = 0MX2 n , 

 la distance ^a du point a à OX sera égale à 



{*oc = MAX2 n . 



On peut donc prendre l'exposant n assez grand pour que la distance y.x 

 surpasse toute quantité donnée, quelque grande qu'elle soil . 



Cette démonstration suppose que la distance de deux points puisse être 

 rendue aussi grande qu'on le voudra, et exclut par conséquent toute hypo- 

 thèse de limitation de l'espace. Rappelons que, d'accord en ceci avec la 

 grande majorité des géomètres et des philosophes, nous concevons l'espace 

 comme indéfini dans tous les sens. 



La démonstration du postulatum 

 d'Euclide se déduit immédiatement 

 du lemme que l'on vient d'établir. 

 Soient AC, BD deux parallèles eucli- 

 diennes (fig. 11), perpendiculaires à 

 la fois à la droite AB. Soit AY une 



droite quelconque, faisant avec AC un certain angle YAC. Je dis qu'elle 

 coupera la droite BD en un point situé à distance finie, d'autant plus 

 grande que l'angle Y r AC est plus petit. 



Prenons en effet sur AY un point M, à la distance arbitraire AM du 

 point A, et abaissons MX perpendiculaire sur AC. Prenons ensuite un 

 exposant n assez grand pour que le produit MX <2" surpasse la quan- 

 tité AB, qui mesure en tout point la distance des deux euclidiennes AC, Bl>. 

 Si l'on prend les logarithmes dans un système quelconque, il suffira de 

 satisfaire à l'inégalité 



Fig. ii. 



»> 



° p \MX.J 

 log 2 



