98 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Cela posé, si l'on porte sur AY une longueur Au. égale au produit AM X 2" r 

 on obtiendra un point <j. qui sera situé au delà de BD par rapport à AC ; car 

 la distance u.a à la droite AC sera, d'après le lemme démontré, 



aa = MNX2", 



quantité supérieure à AP>, distance uniforme des deux droites AC, BD. 



Il y aura donc rencontre des droites AY et BD, et nous obtenons comme 

 résultat le postulatum : 



Quand deux droites sont parallèles, toute droite qui rencontre l'une ren- 

 contre Vautre. 



FIG. 12. 



Corollaires. — 1° La parallèle euclidienne est la seule parallèle qu'on 

 puisse mener par un point donné A à une droite donnée BD. L'épithète d'eu- 

 clidienne est par suite inutile. 



2° La parallèle AC est la positio?i-limite vers laquelle tend une sécante AB,. 

 lorsque le point B où elle coupe la droite BD s'éloigne indéfiniment du point B, 



pied de laperpendicula ire commune AB (fig . 12) . 

 Car à toute valeur finie de l'angle BAC 

 correspond un point B à distance finie du 

 point B. C'est seulement lorsque l'angle BAC 

 s'annule que la distance BB devient infini- 

 ment grande. 

 En d'autres termes, les droites asymptotes 

 de la théorie de Lobatschevsky coïncident avec la parallèle euclidienne qui 

 diviserait leur angle en deux parties égales , et cet angle est un angle nul. 

 Soient AC, BD, deux parallèles, perpendiculaires à une môme droite AB 

 (fig. 13). Au point P. pris sur l'une d'elles, BD, élevons PN perpendiculaire 



à BD, et prenons sur cette droite des 

 longueurs PM = a, PN = b, cons- 

 tantes arbitraires. Menons les droites 

 AM, AN. Si nous faisons mouvoir le 

 point P, en l'éloignant de plus en plus 

 du point B, les droites AM. AN pivo- 

 tent toutes deux autour du point A, 

 et leur position-limite commune sera 

 la droite AC, parallèle à BD, lorsque BP surpasse toute grandeur donnée. 

 Les lieux des points M et N, équidistants de la droite AC, sont les paral- 

 lèles ///M, «N à cette droite. Les points M et N s'éloignent indéfiniment de 

 la perpendiculaire AB à mesure que le point P s'écarte indéfiniment du 

 point B. La parallèle AC est donc la position-limite commune aux deux 

 droites AM, AN, lorsque les points M s'éloignent de m et n au delà de toute 

 grandeur assignable. 



l-'iii. 13. 



