136 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



signe par un vecteur infiniment petit qui peut s'écrire (*) V(OA.OB) = Vab, 

 et la représentation de l'aire totale dont nous venons de parler peut être 

 donnée par le symbole / Vab, le signe / s'étendant à tout le contour et 

 représentant une somme d'éléments vectoriels infiniment petits, mais tous 

 perpendiculaires au plan de la figure, et par conséquent parallèles entre eux. 



Il y a, bien entendu, des contours dont l'aire est nulle; l'exemple le plus 

 naturel et le plus frappant peut-être qu'on en puisse donner est celui de 

 la lemniscate. 



Nous rappelons pour mémoire que toutes les propriétés projeclives des 

 aires planes se traduiront par celles des vecteurs correspondants. Ainsi 

 les projections de l'aire sur des plans quelconques seront représentées par 

 celles des vecteurs sur les axes de ces plans ; la grandeur de l'aire est la 

 racine carrée de la somme des carrés des aires des projections sur trois 

 plans rectangulaires, etc. 



2. — Ces notions étant rappelées, il va nous être facile de les étendre 

 à un contour fermé quelconque dans l'espace, contour gauche en général. 

 Considérons, en effet, tout d'abord un contour polygonal ABC. . .LA. Si 

 est un point quelconque de l'espace, et si nous considérons l'aire OAB, 

 elle peut être représentée, en écrivant OA=a, OB = b, par le vecteur 

 Vab, en grandeur, direction ou orientation, et sens. En effectuant la somme 

 géométrique de tous ces vecteurs, nous aurons : 



2 Vab = Vab + Vbc + . . . H Vla. 



Or, si nous avions choisi un autre point l5 en posant 1 = k, et en 

 faisant la même opération, nous trouverions : 



Mais Vk 2 est identiquement nul, et Vpq = — Vqp, de sorte que l'ensemble 

 des trois premiers termes s'annule et que le résultat ^Vab est le même 

 que ci-dessus. Le vecteur représentatif de l'aire totale estdonc indépendant 

 du point 0. Si nous supposons maintenant que les éléments AB, BC, . . . 

 deviennent infiniment petits et infiniment nombreux, nous voyons que la 

 propriété dont il s'agit s'étend à un contour gauche curviligne ou mixti- 

 ligne absolument quelconque, pourvu qu'il soit fermé (**). 



(*) Au facteur près - que nous supprimons constamment pour simplifier. 



(**) On peut encore, X étant un point quelconque de la courbe, exprimer l'aire élémentaire OXX, 

 par Vxdx et l'aire totale pa.rJ*Vxdx ; et comme V(x + K)dx = Vxdx + VKtfx, on a : 



j V(x + K)dx=fvxdx + Vafdx =f\xdx, car fdx - 0, 

 ce qui prouve que l'aire est indépendante du point 0. 



