C.-A. LAISANT, — AIRK li'i.M COURBE GAUCHE FERMÉE 131 



On peut donner de cette propriété fondamentale une démonstration 

 extrêmement simple et élégante l : ), qui dispense de tout recours au calcul 

 vectoriel, et qui emprunte des notions élémentaires à la statique. Si. en 



effet, dans le polygone ABC. . .LA ci-dessus, nous considérons Ali. Bl , 



LA, comme représentant des forces respectivement appliquées en A,B I., 



la résultante de translation est nulle; le système se réduit donc :i un 

 couple, et c'est précisément le vecteur de ce couple qui représente ce que 

 nous avons considéré comme l'aire du polygone. On passe, du reste, du 

 polygone à un contour curviligne exactement comme ei-dessus. 



3. — Il suit de là qu'à une courbe gauche fermée (ou plus généralement 

 à un contour fermé) sont attachées une grandeur qu'on peut appeler la 

 grandeur de son aire, et une orientation de plan qu'on peut appeler 

 l'orientation du plan moyen de la courbe en question. Ces deux notions 

 se confondent avec les notions d'aires habituelles, s'il s'agit d'une courbe 

 plane. 



Il est d'ailleurs bien aisé, d'après ce qui précède, de comprendre com- 

 ment peuvent être déterminés les deux éléments dont il s'agit. Projetons, 

 en effet, la courbe sur trois plans rectangulaires quelconques formant le 

 trièdre trirectangle Oxyz, et appelons X, Y, Z les aires, en gr andeur et en 

 signe, de ces trois projections. La grandeur de l'aire sera y/X 2 + Y 2 -!-Z 

 et le plan moyen sera perpendiculaire à la droite OM, joignant l'origine 

 au point ayant pour coordonnées X, Y, Z. En d'autres termes, OM sera le 

 vecteur représentatif de l'aire de la courbe. 



4. — Si, en particulier, nous prenons un système d'axes coordonnés rec- 

 tangulaires Oxyz, tel que 0; coïncide avec OM, la projection de la courbe 

 sur le plan des xij aura pour aire celle de la courbe elle-même. Sa pro- 

 jection sur tout plan perpendiculaire à celui des xy sera nulle. 



Les propriétés suivantes deviennent alors intuitives : 



5/ l'on projette une courbe fermée quelconque sur des plans passant par 

 un point fixe : 



1° Tous les plans sur lesquels la projection a une aire nulle passent par 

 une même droite (A) ; 



2° Tous les plans sur lesquels la projection a une aire qui reste constante, 

 sont tangents à un cône de révolution dont faxe est (A) ; 



o° La projection sur un plan jjerpendiculaire à (A) est maximum. 



On remarquera que si les projections sur trois plans formant un trièdre 

 ont des aires nulles, il en sera de même pour un plan quelconque. L'orien- 

 tation du plan moyen devient alors indéterminée. 



Lorsque deux cylindres se coupent sans pénétration, la courbe d'arra- 

 chement a pour plan d'orientation moyenne un plan parallèle aux géné- 



(*) Elle m'a été indiquée par M. Appell. 



