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ratrices des deux cylindres. Cela résulte de ce que les projections sur les 

 plans des sections droites sont évidemment nulles. 



Il est important aussi de constater que si l'on substitue à la courbe (Tj 

 considérée sa projection (TJ sur un plan d'orientation moyenne, cette 

 courbe plane (T,) la représente, pour ainsi dire, complètement au point de 

 vue des propriétés concernant les aires ; c'est-à-dire que sur un plan quel- 

 conque, les projections de l'une et de l'autre courbe auront des aires 

 égales. 



On remarquera enfin que l'aire de toute surface s'appuyant sur la 

 courbe est supérieure à la grandeur de l'aire orientée que nous avons 

 définie, puisque chaque élément de cette dernière est la projection d'un 

 .élément correspondant de l'autre sur le plan d'orientation moyenne. 



Quelques-unes des propriétés signalées dans ce numéro m'ont été indi- 

 quées par M. Félix Lucas, qui a bien voulu s'intéresser à la question, à 

 la suite de conversations échangées entre nous à ce sujet. 



5. — Une application assez intéressante consiste dans la détermination 

 de l'aire d'un quadrilatère gauche ABCB. On peut l'évaluer en rapportant 

 les vecteurs au point A pris comme origine, et l'on a : 



V(ÀB.AQ + V(ÀC.AD)=:V(AB.AC)-~ V(ÀD.AC = V(DB.AC). 



L'aire est donc représentée par un vecteur perpendiculaire aux deux 

 diagonales DB, AC, et sa grandeur est )e produit de ces diagonales parle 

 demi-sinus de l'angle qu'elles forment. L'orientation moyenne du quadri- 

 latère est celle d'un plan parallèle aux deux diagonales. Si l'on compare 

 le quadrilatère AP>CD et le tétraèdre ABC©, on peut dire aussi que le 

 volume du tétraèdre, en grandeur, est donné par le produit de l'aire du 

 quadrilatère multiplié par le tiers de la plus courte distance des deux dia- 

 gonales. On remarque aussi que la projection du quadrilatère sur tout 

 plan parallèle à la perpendiculaire commune aux deux diagonales a une 

 aire nulle. 



0. — Reprenons, comme plus haut (4), un système d'axes coordonnés 

 rectangulaires, tel que te plan des xy soit parallèle à l'orientation moyenne; 

 et supposons, en outre, que la projection (Tj sur ce plan ayant été faite, 

 on ait choisi comme origine le centre de gravité de l'aire de cette courbe 

 plane (TJ. L'axe des z devient alors ce que nous pouvons appeler l'axe 

 central de la courbe. Cet axe central est complètement déterminé, 

 comme on le voit, en direction et en position, dès que la courbe est elle- 

 même donnée. 



Avec ce choix de coordonnées, soit n l'aire de la courbe (T,) et (h un 

 élément de cette aire compris entre deux rayons issus de et infiniment 

 voisins. Si nous considérons un point M de (T) correspondant à cet élé- 



