11. TRIPIER. 



METHODE DES APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. 



l5 



Nous en trouverons le moyen on considérant la représentation géomé- 

 trique de ce qui vient d'être dit. La racine considérée est l'abscisse de 

 Fun des points d'intersection de la droite y — .r, et de la courbe 



l'ordonnée de ce point étant comprise entre les ordonnées 



el 



X = a 



X 



o. 



La valeur ^{a) est l'ordonnée du point A, c'est donc l'abscisse du point a 



de la droite 



y ^ X, 



I et passant 



.>•=?('" 



ce point ayant même ordonnée que A. 



Traçons, en y\-2lB2, la droite de coeflîcient angulaire 

 par I. 



L'abscisse de a sera plus voisine 

 do celle de 1 que l'abscisse de A, , si a 

 est entre Ai et A',, c'est-à-dire si A 

 est entre Ai et A^, autrement dit, si 

 le coefficient angulaire de lA est 

 compris entre les coefficients angu- 

 laires de lAi et de IA.2, et cette 

 condition est nécessaire et suffi- 

 sante. Cela s'exprimera par les iné- 

 galités suivantes 



— I <cp'(a-H 61/4) <-i-i. 



De même, la condition nécessaire et suffisante pour que B soit entre 

 B, et B2 s'exprimera par les inégalités 



— I < o' f 6 — O2 A -j < -f- 1 . 



Mais si ces conditions ne sont pas satisfaites avec la courbe y = ^ [x). 

 elles pourront l'être avec une transformée de cette courbe, et pour que les 

 racines cherchées soient respectées il faudra et suffira que les points 

 d'intersection avec la droite y = x le soient eux-mêmes. 11 en sera 

 ainsi en transformant par homologie avec la droite y — x comme axe 

 d'homologie. En prenant, pour simplifier, le centre d'homologie à l'infini 

 dans la direction Oy, on est conduit à réduire les ordonnées A, A, BiB, 

 dans un rapport constant; on remplace 



par 



la courbe 



[x — ^{x)] 

 k[x — ^(x)], 



y = (f{x) = .r -H [tû(ar) — .r] 



