\. M BUY. — THEORIE DES NOMBRES COMPLEXES. 19 



seront (Icsignés al)it''viativemcnt par les lettres w, m', ..., [j., ..., 

 fl, .. ., z. .... 



I,a imriiHw/'- + //-de/// -= a + et s'indiqueraainsi N (m) ou N(</ + hi). 



•2. Jai nurine d'un prudiiit est égale au produU de celles des facteurs. 

 Cela vient de ce que 



'Si ni/i) — N [(ac — Od ) ~h ( a(f + />c)/ ] = (ac — hd )-+ i ad -\- hc )- 



= ( a^ -^ ^2 ) ( C-' -h rf2 ) — \ ( m )\(n). 



CoBor.i.AiHE. — Si m est un nombre composé m', m", N{m) sera un 

 nombre réel composé, puisqu'elle est égale à N(w') N(m"). 



3. Tout codiviseur de deux entiers divise également leur so/nme et leur 

 différence, et en général toute fonction entière de ces deux nombres. 



h. Si le nombre <i -\- bi est divisible par a -|- j'S/, a — bi Vest par y. — 13/. 

 .Soit 



rt -f- 6t = ( a -i- ^ÎM X ~ y i )\ 

 on aura 



ix — ^py = a. (xy -!- ^&.r = b, 



d"où 



{% — ,&/) ( X — y i) = (xx — py } — ('xy -+- '^x)i = a — bi. 



Corollaires. — 1. Si a + bi esl premier, il en est de même de a — bi. 



11. 6"?' (/ est divisible par a + pi, il l'est par y. — j3t. 



m. Si a et b sont tous les deux des impairs réels, le nombre a -\- bi 

 peut se mettre sous la forme 2 {a' + ^^' ) + i + ' : il est donc divisible 

 par 1 -f /. 



0. Soient a et (3 les entiers réels les plus voisins des suivants 



ab' -^ (i b bd — <ib' 



on aura, en valeur absolue 



A-x£-, H_3<1. 



La norme de (A — a) + (B — [3) ?', sera donc =; ( - ) + ( - ) = ~* 



j. / \ ">, / '>. 



Mais en posant a — a' a + V 3 = a\ b — a' (3 — // a = //', on a 



r. n ■ a -^ bi 



( A — X ) -r- ( B — p ) t = , -^a—'^l 



à -r b' i d -:- b' i 



donc N {a" + b" i) i\^ («' + b' i). 



Ainsi, étant donné deux nombres m, m' , on peut toujours en trouver 



