>0 MATUt.MATlQl i:S, ASTUO.NOM 1 E ET GÉODÉSIE. Mi:( VMOIE. 



iIpux nulri's ju. et ///' tels qu'on ait 



CoHOLi.AïuE. — Opérant de nirme sur ///' et m", ou obtiendra deux 

 nouveaux entiers ;jl', m'" répondant à des conditions analogues, et ainsi 

 de suite. On aura ainsi une suite de nombres m, tn' , ni', . . ., dont les 

 normes tendront rapidement vers zéro, norme de o + o i = o. On peut 

 donc écrire 



III = m' <>. -H- ni" , 



(«) 



m 



a- 



t- = mU) a(/.-i) -+- /n(/.-i-i), 



III /'^ = //('"^+l)[j.(A-)^ 



m'" est donc un (■(nliviscur de /n et de m'. Dans le cas particulier où il est 

 de la forme jP, on dit que m et m' sont premiers entre eux. 



(). Considérons les trois entiers ?n, n, m'; si le produit nin est divisible 

 pur ni' premier avec m, m' divise n. Multiplions par ?i tous les termes des 

 égalités (a); on verra que m' divise m<*"^'^;jt."'^/?, or ?n^^'-^^^ est de la 

 forme i9. 



CuKOLLAiHES. — 1. Si lui entier premier divise le produit mm' sans 

 diviser m. il divise ni' . 



II. Si un nombre premier ne divise aucun des fadeurs d'un produit, il 

 ue divise pas eelui-ci. 



III. Si un nombre premier divise un produit, il divise l'un des facteurs. 



I\ . Tout entier premier avec plusieurs autres l'est avec leur produit. 



\ . Tout entier esl décomposable d'une seule manière en facteurs pre- 

 miers. 



\"1. Si la norme de a + bi est un nombre composé, il en est de même 



de a -\- bi. Soit 



fg = a"- H- b- = (a -^ bi ) ( a — iii ) ; 



si a -f bi était premii-r, a — bi le serait aussi et les entiers réels /, g 

 seraient égaux, à cause de V, à (/ + bi et a — bi, à des multiples près 

 di' />. ce f|ui est absurde. 



\ 1 1 . i )u corollaire de '1 et du corollaire précédent, on déduit que a + bi 

 et sa normr sont ensemble des nombres premiers ou des nombres composés. 



7. T(uii noiiihri' (livisildf par deux entiers premiers entre eux. Test par 

 leur prnduil. 



Cduoi.laihes. — I. Si a et b sont premiers entre eux, il en est de même 

 de a -+- bi et de a — bi. Si ces deux dei-niers l'taient divisibles par le 



