■2?. MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE ET GEODESIE. — MECAMQIE. 



L'i'iK'S ;j.". ;jt.'", ce qui (lonnoiaiL 



.l'où 



relation impossible, puisque ;jl'' et ,u.''' sont incongrus. 



10. {) désignaiil un nombre premier réel de forme k -\- i, on a, en déve- 

 loppant par la formule du binôme et se rappelant que 



p(/> -- \)(p — 7.). . .(p — /c -^ l t 



I. •.!.../. 



est un multiple de /;, quand p est premier 



{X + i~- ùi )/' — (.r - bi)i' == (a? -+- 1)/'— x-i' = i 



( (I -^ yi ~ i)i'— (a -^ y i |/'= {yi — i }i' — (yi)''^ i 



( mixt />), 



Faisant successiv(-ment 

 .r = (>, 1 , >., 3, . . . , a — 1 , y = o. i , 'Jt, 3, .... I> — i , 



t'I additionnant les deux groupes d'égalités ainsi produites, il vient 



I a -h bi )i'^ fyi'-i~ bi =i (a -V- hi }i'ss a -^ hi> i (moàp), 



don aisément 



(a) {a -T- bi )i'^ a ~r- bi (*) on ini'^^in (iiiod/j). 



11. ToHl nombre premier réel de forme \ -F i est décomposable en une 

 .somme de deux earrés (Fermât). Démonstration de Lejeune-Diriclilet. 

 La congruence de degré p, [x + yi)'' ^^ x -{- iji a p- racines, qu'on 

 obtiendra en donnant à x et // les valeurs o, i, 2, . ■ ., p — i, et les asso- 

 ciant <leux ;i deux. A cause de î>. p n'est donc pas un module premier 

 <(»mplexc, et iou peut écrire 



f) — ( a bi I (V/ -+- // / ) = ( aa — bb' ) -1- ( ab' -+- ba' ) i ; 

 don 



itb' ^ ba' = o, 

 "■I par suite 



{ ff- -r- b- )a 



j) = fta — bb' = 



a 



l.c premier nn'nd)n' est entier et premier, ce qui ne p<'ut avoir lieu 

 rpif si n' = (I. 



(•) Lejeune-Diiichlfi ;iiri\c à i.elle remarquable rclalion en tliMiiontranl préalablc- 

 iiiciU le llicori'-me de l"*rtnat, comme Hauss, et (Trivanl (a -- biy ^ar -i-bri, d'où 

 il roiK'lut ( a *. 



La dcmonslratijii précédciin- NCiiibio plus dirccle. 



