E.-N. li.MtlSIEN. Sl'R QUELQUES SOMMATIONS ET SÉRIES. 29 



Ou Irouvi' coinmc précédemment 



(»■>) 



S/'- (;,_,)/• [(«6c...) (..,/k/)\ 



les nombres {a, h, r, . . .) et ( . . ., /â7) ayant (/; — i ) facteurs a, /?, r, 



Si /i est le nombre des Tractions de S;,, on a 



« = N — (/> — I).. 



La somme S,, peut s'exprimer d'une façon plus explicite, en fonction 

 de </, r et n, de la manière suivante 



S = î + ^ +... 



'' ai a -^ r ) { a -^ -1 r ) . . .\ a + { p — \)i-\ {a -^ i- ) (a ^o.r) ...{a -^ pr) 



I 



'^ [r/ -+-(« — ij/-] («H- n/-) [« + (rt H- ij/'J ...[« + (/< -4-/J — -a;/-] 



_ 1 J 1 I ) , 



~ (yj— ij7- ( (i{a-\-r). . .[aH-(/> — •>-)'■] (/'-+-«/). . .\a-^{n + p — -i)r] \ 



5. Une remarque assez curieuse, c'est que la formule (6) est en défaut 

 pour p = I. 



D'ailleurs, il n(jus semble que la somme 



I 1 I _ II 



(i h c ' ' ' ' k l 



ou somme des inverses des termes d'une progression arithmétique n'est pas 

 connue. 



6. La formule (4) de S:j peut se mettre sous une autre forme. 

 On a 



III I 



""^' ib Ai a(a-^r) "[« + (N -;•.)/•] f « + ( N - i)/-] 



_ (N— ■>.) + (2« + (N — !)/•] 



~ rf(a-^r)[ri -^(?i —2)r] [rt + (N — i)r]' 



Or 



2 rt -T- ( N — I ) /■ = f( 4- L 



Donc 



_ ( N — -i )(«-+-/ ) _ n(a-h l) 



^'' ^~ Ï^^MT ~ lab/d ' 



En comparant les formules (4) et (7), il en résulte l'identité 



(Si Al — ab = (^ — 2)(ri -+- l)r. 



7. Sommes de la suite des nombres conséeutijs 



I, -i, 3, 4, ■••, (N-i), N. 



