J. WEI-SCH. POLYGONES DE STEINER. 77 



Les tangentes menées respectivement des deux nœuds à la quartique, 

 ont leur point de contact sur une droite passant par P; elles sont elles- 

 mêmes des côtés opposés d'un polygone de Steiner, ou plutôt des côtés 

 évanouissants d'un demi-polygone double de Steiner, dont le sommet 

 moyen (séparé par un même nombre de côtés de ces côtés évanouissants) 

 est sur la conique (c); la tangente à la quartique en ce point passe par P. 



De là, il résulte que les tangentes issues des nœuds se coupent deux à 

 deux sur la conique (c) et forment deux faisceaux équianharmoniqucs. 



Les tangentes en l'un des nœuds appartiennent au même polygone de 

 Steiner sur le périmètre duquel ils ne sont séparés que par le côté éva- 

 nouissant constitué par la ligne des nœuds; la tangente à la conique (r) 

 en ce nœud est le côté moyen de ce polygone (séparé par un même 

 nombre de côtés des tangentes au nœud). 



D'autre part, de P partent deux tangentes doubles de la quartique 

 dont les points de contact sont sur la conique conjuguée à (c) qui lui 

 est bitangente suivant la ligne des nœuds. 



Si la ligne des nœuds est un axe de symétrie, et que la conique (c) 

 soit une hyperbole équilatère qui aura nécessairement cette ligne pour 

 axe transverse, la quartique a quatre tangentes doubles perpendiculaires 

 -à cet axe. 



C'est le cas de la quartique qui fait l'objet d'une question proposée 

 par M. H. Brocard dans le journal El Progreso mathematico (t. I, 

 année 1891), traitée depuis par l'auteur lui-même, et d'une correspon- 

 dance très intéressante entre lui et M. \'. Retali. 



Deuxième cas. — n est pairement pair. — Ici, les côtés opposés sont 

 issus du même point double : ils sont en involution. 



Les tangentes qu'on peut mener à la quartique de chaque point double 

 sont, deux par deux, les côtés évanouissants d'un même polygone de 

 Steiner réduit à un demi polygone par la superposition des côtés qu'ils 

 encadrent. 



Le côté moyen de ce demi-polygone est un des rayons doubles de 

 l'involution. 



La lemniscate de Bernoulli, les lemniscates elliptique et hyperbo- 

 lique, la Kreuzcurve, la Kohlenspitzencurve, et en général toute quar- 

 tique trinodale ou binodale dont les nœuds sont d'inflexion, possèdent, 

 à l'exclusion de toute autre quartique, des quadrilatères inscrits de 

 Steiner. 



Il existe, en dehors de leur propriété caractéristique, une analogie 

 frappante entre les polygones de Steiner et ceux de Poncelet. 



Si le nombre des côtés de ceux-ci est pair, la diagonale qui joint deux 

 sommets opposés pivote autour de l'un des pôles doubles des deux 

 coniques génératrices. Dans le premier cas des polygones de Steiner, 

 la diagonale joignant deux sommets opposés pivote autour du pôle P. 



Les polygones de Poncelet, dont un côté touche la conique inscrite 



