J, WELSCII. 



'ost-à-dire 



THÉORÈME DE FUSS (l'OLYGONES AUTICrLÉS). 7g 



{pr -f- qs)(j — (ps -f- qt )/> = o, 



avec la condition que la dérivée du premier membre soit positive. 



Au contraire, on aurait le lieu des sommets des horizontales en expri- 

 mant que le rayon de courbure de ces courbes est maximum ou mini- 

 mum, ce qui donnerait 



r j 



i^i -4- r'-)- 



y 



ou 



v/'^ = (•+/-)/' 



y = 



p 



, V = 



rq^ 



spq -^ f/y^ 



En résumé, il semble que le mieux est de s'en tenir à la définition phy- 

 sique, à la portée de tous, néanmoins très exacte, et de dire que les lignes 

 de faite sont les lignes de partage des eaux, et les thalwegs celles suivant 

 lesquelles les eaux se réunissent : les gens qui connaissent les Mathé- 

 matiques en déduiront sans peine que ce sont les lignes de plus grande 

 pente dont la pente est minimum. 



M. LE LlEUÏENANT-COLONEI, J. WELSCH. 



THÉORÈME DE FUSS ( POLYGONES ARTICULÉS 



6 Août. 



53 1 .■>.'} 



L'aire d'un polygone plan arliculé est jiuixinuini quand le polygone est 

 inscriptihle. 



Steiner a montré que, dans le plan, de toutes les figures de même péri- 

 mètre, le cercle est celle qui a la plus grande aire. 



En conséquence, si un polygone est inscrit dans un cercle, toute défor- 

 mation de la figure dans son plan ne modifiant pas les segments dont les 

 côtés du polygone sont les cordes et qui leur restent fixés, aura pour 

 eiïet de diminuer l'aire totale; l'aire du polygone sera diminuée de la 

 même quantité. 



Dèmonstralion trigonométrique. — a, b, c, d étant les longueurs des 

 côtés d'un quadrilatère plan, [a, h), (c, d) les angles formés par les côtés 

 a et è, c et rf, l'aire du quadrilatère est 



- ab sin(rt, b ) -\ cof sin(c, cl). 



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