18 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Les deux premières de ces équations aux dérivées partielles ont déjà été 

 intégrées et la dernière le serait aussi par le procédé employé et donne- 

 rait des résultats analogues. 



10. — Il faut encore observer que tout ce qui a été dit au n° (J pour 

 la détermination de p s'applique ici sans modifications, si ce n'est qu'au 

 lieu de deux fonctions potentielles, il y aura dans les équations (43) et (48) 

 les trois fonctions potentielles Q^, iî^ et û^. La fonction K complètement 

 indéterminée jusqu'à cette dernière opération n'y figure plus et elle est 

 remplacée par la fonction Oj dont le rôle est analogue aux deux autres et 

 ne s'en distingue par aucun caractère spécial. D'ailleurs, la formule (48) 

 ne diffère pas de la première des équations (59) et elle a déjà dû servir à la 

 détermination des trois fonctions potentielles. Le calcul effectué au numéro 

 cité, lorsqu'on l'applique ici, tend donc simplement à établir qu'il doit y 

 avoir une certaine dépendance entre les trois fonctions û^, ^g, Qg et que 

 leur emploi simultané pour la solution des problèmes de l'élasticité pro- 

 cure en quelque sorte aux formules une généralité plus que suffisante. 

 C'est ce qui explique cette espèce de paradoxe, qu'on peut employer en 

 prenant trois à trois quatre fonctions potentielles, quatre systèmes de 

 formules d'intégration qui ne différent que par la forme. 



Je dois encore faire une observation d'une certaine importance. Au 

 n° 4, dans les équations aux dérivées partielles (24) et ('âo) que doivent 

 vérifier respectivement les fonctions potentielles Qj et Q^, il s'est trouvé 

 dans un coefficient de chacune d'elles l'expression q'^ -j- q-^ qu'il est impos- 

 sible de réduire à l'une et à l'autre des formes ^.//g et \/{q^^ — b^){b^ — q'j^) et 

 l»ar suite il a fallu poser : 



dK dyl ■ 



La simplification qui en est résultée n'aurait plus lieu, si les trois coor- 

 données curvilignes ^i, q.j_, q.^ étaient liées par une relation de la forme: 



(65) F{ql - ql q,) = 0. 



On voit qu'il s'agit ici, en quelque sorte, de cas singuliers, qu'il pour- 

 rait être utile d'étudier pour voir ce ([u'il résulterait pour l'état intérieur 

 d'un solide en équilibre d'élasticité, de la discontinuité suivant certaines 

 lignes de sa surface, des forces extérieures auxiiuelles il est soumis. Je 

 n'ai pas cru devoir entrer ici dans cet ordre d'idées et je me contente de 

 le signaler. 



