E. CATALAN. — APPLICATION DE LA GÉOMÉTRIE A l'aRITHMÉTIQUE 10 



M. E. CATALÂI 



Professeur émérite à l'Université de Lié"e, 



UNE APPLICATION DE LA GÉOMÉTRIE A L'ARITHMÉTIQUE [I13ba] 



[117 c] 



[K6a] 



— Séance du 4 août 1893 — 



Lemme. — Si neuf quantités a, b, c, a', b', e', a", b", c" satisfont 



aux six équations : 



a^+ a'' + fl"^ = 1, 



b-'+ b'-' + b"-' =1' ( (^) 



ab + a'b' + a"b" = 0, J 



bc + b'c' + b"c" = 0, (2) 



ca + c'a' + c"a" =: 0; ] 



elles satisfont également : 

 '/" Aux six équations : 



a' H- 6- +c^ = ^' ] 



a'' +b'-' -t-c"^ =1, [ (3) 



a"-^J^b"^ +c"-^ =1, 



aa' + bb' H- ce' = 0, 



a'a" + b'6" -t- Ce" = 0, [ (4) 



a"a + ?)"6 + c"c = 0; 



2° >lua:! neit/" équations : 



b'c" — c'6" = zta, b"c — c'7j = ± a', bc' — cb' = ± a", \ 

 c'a" — a'c" = ±:b, c"a — a"c = zn b', ca' — ac' = ± b", (5) 

 a'b" — b'a" = dz c, a'b — b"a = ± c', ab' — ba' = ± c" ; ] 



.y° .4 l'équation : 



aib'c" — c'b") H- a'{b"c — c"b) -\- a"{be' — cb') = -± 1 (*). (6) 



(*) Théorie analytique des lignes à double courbure, p. 2. 



La première partie de la proposition appartient à Poisson, qui l'a énoncée d'une manière diffé- 

 rente {Correspondance sur l'École polytechnique, t. I, p. 240). Pour la seconde partie, due à Lacroix, 

 on peut consulter la Géométrie analytique de Lefébure de Fourcy. Le lemme (ou plutôt le théorème' est 

 Ltonéralisé dans mon Mémoire sur la transformation des ('(/;'(((6/i's (Bruxelles, 18-'i0}. 



