E. CATALAN. — APPLICATION DE LA GÉOMÉTRIE A l'aRITHMÉTIQUE 'il 



6. _- Suite. — L'équation du premier cône a la forme 



a;^ + y'^ + 2"' — m^x'^ f'). 



Prenons OA = 1 : l'abscisse du point A est a ; donc 



i r= m^a- ; 

 d'où, par l'élimination de m : 



X 



- = x'^- ir- + -j 



a 



L'équation du deuxième cône serait 



et celle du troisième 



(8) 



(9) 

 (10) 



» (9) » 



» (10) » 



ce qui devait être. 



7. — Relations entre les deux trièdres. — Nous avons trouvé (4) 

 AOX^AiOX, AOY=:B,OX, AOZ = CiOX; 



BOX = AïOY, BOY = B^OY, 

 COX = XfiZ, COY = BfiZ, 



BOZ = CiOY 

 COZ = CiOZ 



aix AZ = arc CiX; 



arc BZziz arc Cl Y; (H) 



arc CZ = arc CiZ. (**) 



ou, ce qui revient au même : 



aix AX = arc AiX, arc AY = arc BjX, 

 ai'c BX = arc X^Y, arc BY =z arc BjY, 

 arc ex = arc AjZ, arc GY = arc B^Z, 



8. — Triangles trirectangles. — Soient (fig. 1) les triangles ABC. XYZ 

 Du point X, comme pôle, je décris l'arc AA^ 

 (***), de manière que 



XAi==AX, YAi^BX, ZAi=: ex (-**-); (H) 



ce qui est possible, d'après le lemme. Ainsi, il 

 existe, sur la sphère donnée, un point A, satisfai- 

 sant aux conditions (11) (*****). 



l'io. 1 . 



(*) Parce que tout plan, perpendiculaire à OX, le coupe suivant une circonférence. 



(**) Arcs de grands cercles. 



(,***) Arc de petit cercle. 



(****) Arcs de grands cercles. 



(*****) En vertu de ces conditions, les triangles sphériques 



ABX, BCX, CAX, XYAi, YZAi, ZXAj 



sont égaux (ou symétriques) deux à deux. Pour plus de simplicité, nous les supposons égaux. 



