22 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODKSIE ET MÉCANIQUE 



9. _ Suite. — Opérant sur Y el Z comme on a opéré sur X, on .arrive 

 à cette conclusion : 



Étant donné, sur une sphère, deux triangles trircctangles ABC, X\Z, 

 on peut en déduire un troisième, égal aux deux premiers, et telqueX, Y, Z 

 soient, respectivement, les pôles de A, Aj, de H, Bj, de C, Cj. 



10. — Remarque. — On peut se demander si la réciproque suivante est 



vraie : 



Deux triangles trirectangles, ABC, AiB^C,, étant donnés sur une sphère, 

 il en existe un troisième, XYZ. tel que les égalités (11) soient véri- 

 fiées (IV) (*). 



11. _ Projection d'un tétraèdre. — Soit ABC (fig. 2) la base d'un 



tétraèdre dont le sommet S est projeté en 0, 

 et dont les trois autres faces sont rectangulaires. 



Les projections des arêtes AS, BS, CS, sur 

 le plan ABC, sont, respectivement, perpendi- 

 culaires à BC, CA, AB. Donc le point est 

 Vorthocentre de ABC. 



La réciproque est vraie. C'est-à-dire que, 

 étant l'orthocentre, si l'on décrit les demi- 

 circonférences CA'B, CB'A, les cordes CA', CB' sont égales. En effet, de : 



on déduit 



ou 



12. — Problème. — Satisfaire aux équations (1), (2), (3), (4), par des 

 valeurs rationnelles des inconnues. 

 Les valeurs générales sont, comme on sait : 



a = cos ^f cos <\i — sin 9 sin ■]; cos 6 , 



a' = sin 9 cos -} + cos cp sin -f cos 0, 



a"r= sin <]/ sin 0, 



b = — cos 9 sin '} — sin 9 cos ■]/ cos 0, 



h' -^ — sin 9 sin ^ -f cos 9 cos if cos 0, ) (12) (**='=) 



b"= cos '\i sin 0, 



c = sin 9 sin 0, 



c' = — cos 9 sin 0, 



c" r= cos 6 ; 



(.*) La ri'ponse me semble afriimalive: mais, pressé par le temps, je néglige celle queslion inci- 

 dente. 



(**) Traité élémentaire de Géométrie descriptive, p. 8t. 

 (*••) Formules d'Euler. 



