J. NEUBERG. — NOTES DE GÉOMÉTRIE 27 



On déduit, d'un triangle donné ABC f/ig'. 'I), trois pseudocarrés exler-nes 

 ABA'C, BCIVA, CAC'B en portant sur les hauteurs, vers l'extérieur, 

 des longueurs AA', BB', CC égales aux côtés opposés BC, CA, AB. Si 

 l'on porte sur les hauteurs, vers l'intérieur, les longueurs AA" = BC, 

 BB" = CA, CC" := AB (fig. 2), on obtient trois pseudocarrés internes 

 ABA"C, BCB"A, CAC"B (=•=). 



Connaissant le triangle A'B'C, comment retrouve-t-on le triangle ABC? 

 La solution de ce problème résulte immédiatement du théorème suivant: 

 Les points k, B, C sont les centres des carrés construits intérieurement sur 

 les côtés du trianyle A'B'C. Pour démontrer cette propriété, il suffit d'ob- 

 server que les lignes brisées ABB', C'CA ont leurs composantes, deux à 

 deux, égales et perpendiculaires ; les résultantes AB', C'A sont donc égales 

 et perpendiculaires entre elles. 



2. — Soient o, 6. c les côtés du triangle ABC, S la surface, T la somme 

 a^ -{- ¥ -\- c^ V l'angle de Brocard ; on a 



T = 4S cot V, (1) 



16S^ = 22a262 — Sa^ . (2) 



Des notations analogues seront employées pour les triangles A'B'C, 

 A"B"C". 



Pour calculera', b' , c' en fonction de a, b, c, remarquons que le triangle 



ABB' donne : 



'XW^ = 16^+6^'+ 2BB' . BE; 

 mais 



AB' = -^ ' BB'. BE = AC . BE = 2S ; 



par conséquent : 



a'^ = 2(6^ + c^) + 8S, 6"^ = 2(c^ + a'^) + 8S, c'^ = 2(a^ + b') -f 8S, (3) 



T' = 4T 4- 24S. (4) 



Pour trouver S', écrivons les relations (3) ainsi : ^ 



a'' = 2{a'' + 6^ + c') + 8S — 2a^ = 2(U — a^), etc., 



U désignant la quantité T + 4S ; et substituons les valeurs précédentes 

 de a'^ b"K c"^ dans l'égalité 



il vient 



ou 



46S'* = 22a'26'^ — Za" ; 



4S'^ == 2i:(U — a^) (U — 6^) — S(U — a'^f 

 — 3U* — 2UT + 16S^ 

 = T^ + 16ST + 64S^ = (T + 8S)S 



2S' = T + 8S. (5) 



i*j Pour la clarté de la figure, on na pas tracé les lignes A'B, A'C, etc. . 



