28 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE. GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Les relations (4 1 et (o) peuvent encore prendre la forme : 

 T' = 8S(3 + 2 cot V), S' = 2S(2 -f cot V) : 



on en déduit successivement: 



r 3+2 cot V 



col \ =z -—- z=z — — -— - , 



4S 2 -f cot V 



cot V cot V 4- 2 (cot \' — cot ^' ) — 3 = 0. 



(2 — cot V')(2 + cot V) = i. 



(6) 



(") 



3. — On sait que la cotangente de l'angle de Brocard admet un mi- 

 nimum \'3, qui correspond au triangle équilatéral. Si cot V := \/3^, la for- 

 mule (6) donne cot V = \'^. de sorte que le triangle A'B'C est équila- 

 téral ; ce résultat est évident. Lorsque cot Y croît indéfiniment à partir 



de \f'^, col V croît constamment jusqu'à un 

 maximum 2. Ce maximum, qui a lieu pour 

 cot V= 00 , correspond à un triangle apJali ABC(*) 

 (fg. 3), et donne cette proposition assez ( urieuse: 

 Soient A. B. C tfois points en ligne droite, A 

 étant compris entre B et C. On mène, d'un même 

 côté de la droite BC, les perpendiculaires BB' = AC, 

 ce = AB, et de Vautre côté la perpendiculaire 

 AA' = BC ; quel que soit le rapport des segments 

 AB, AC, r angle de Brocard du triangle A'B'C a 

 pour èotangente 2. 



Il résulte, de ce qui précède, que le triangle 



A'B'C nest pas de forme arbitraire : la cotangente de son angle de 



Brocard est comprise entre y'S et 2. 



4. — Considérons maintenant le triangle A"B"C" (fig. 2). Les points A, B.C 

 sont les sommets des carrés construits soit extérieurement, soit intérieure- 

 ment, sur les côtés du triangle A"B"C"; car les lignes AB", C'A. résul- 

 tantes de deux contours ABB", C "CA dont les composantes sont, deux à 

 deux, égales et perpendiculaires, sont elles-mêmes égales et perpendicu- 

 laires. Nous verrons tantôt comment on peut reconnaître si les carrés à 

 construire sur les côtés du triangle A"B"C" sont extérieurs ou intérieurs. 



Cherchons les éléments a", b\ c", T", S" du triangle A"B"C". Le triangle 

 AB"B donne : 



' * ■' ' 2BB".BE: 



AB"" 



AB' 



BB"" 



comme 



a- 



AB" = — 

 v2 



BB". BE = AC . BE = 2S. 



(*) On peut supposer que le sommet A glisse sur la hauteur AD (fig. 1}, et vienne se placer sur BC 

 V diminue alors jusqu'à zéro. 



