J. NEinEUG. — NOTES UE GÉOMÉTRIE 29 



on trouve : 



a'" = 2(6' + c') — 8S, b"^ = 2(c^ + «') — 8S, c"' = 2(a^ + 6*) — 8S. (3') 



T" = 4T — 24S. (4') 



On a ensuite, pour la surface, 4S"' = (T — 8S)', 

 ou 2S" rz: T — 8S, [6') 



en convenant de donner à S" le signe + ou le signe — . suivant que 

 T >> 8S ou •< 8S. Cette convention attribue le même signe à cot Y". 

 On tire, des formules (4') et (5') : 



T" 2(T — 6S) _ 2 cot V — 3 



r" 



^°^ ^ ~ 4S" ~ T — 8S cot ^^ — 2 ' 



ou i:.2 — cot V") (2 — cot V) = 1. (7') 



Cette formule peut être considérée comraes'appliquantàlafois aux deux 

 triangles A'B'C, A"H"C", pourvu que l'on fasse les conventions suivantes : 



D 



1-lG. /,. 



i° L'angle V est positif ou négatif, suivant que les pseudocarrés consi- 

 dérés sont internes ou externes au triangle ABC. 



2*» L'angle V" est positif ou négatif, suivant que les points A. lî, C sont 

 les centres des carrés construits intérieurement ou extérieurement sur les 

 côtés du triangle dérivé A"1V'C" (ou A'IVC'). 



La première convention s'explique par la circonstance que les formules 

 relatives à A'B'C diirèrcnt de celles qui se rapportent à A"B"C", par le 

 changement de S en — S. Pour la seconde, on observe dabord que 

 cot V" — 00 pour cot ^' = 2, de sorte qu'on a le théorème suivant : 



Si la cotangente de Vangle de Brocard d'un triangle ABC est égale à 2. 

 les quatrièmes sommets des jyseudocarrés internes déduits de A.BC sont en 

 ligne droite. 



Ensuite, lorsque le triangle ABC se déforme d'une manière continue 

 d'après une loi quelconque, le changement d'orientation de A"B"C" par 

 rapport à ABC s'opère au moment où le triangle .\"B"C" s'aplatit, c'est- 

 à-dire au moment où cot V" change de signe en passant par linfmi. 



La formule (7') est susceptible d'une représentation géométrique fort élé- 

 gante. Prenons sur une droite indéfinie x'x (fig. 4), à partir dune origine 0, 



