30 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



deux abscisses OP. OQ dont le produit égale l'unité ; portons aussi la 

 longueur OB =: 2, élevons en B une pepcndiculaire sur laquelle nous 

 prenons BC = BD = 1, construisons les triangles équilatéraux CED, CFD 

 et joignons CQ, CP. Cela posé, OP et OQ sont des valeurs simultanées des 

 facteurs 2 — cot V", 2 — cot V; et les valeurs correspondantes des angles 

 V",V sont V" = CPx et V = — CQa^', ou V" = — CPa; et V = CQa;'. Les 

 points P et Q doivent être extérieurs au segment EF. Si l'on prend les 

 abscisses négatives OP', OQ', dont le produit égale J, on a V = CPa; 

 et V" = CQ'a^, ou V = CQ'a? et V" = CPa;. ' 



La discussion peut être résumée ainsi : 



Pour qu'un triangle donné a^By puisse être considéré comme étant le 

 triangle A'B'C de la figure 1. la cotangente de son angle de Brocard 

 doit être inférieure à 2 ; les points A, B, C sont alors les centres des carrés 

 construits intérieurement sur py, ya, a[3. Tout triangle a[3y peut être consi- 

 déré comme étant le triangle A"B"C" de la figure 2 ; les points A, B, C 

 sont les centres des carrés construits extérieurement ou intérieurement 

 sur [3y, ya, afi, suivant que la cotangente de l'angle de Brocard du triangle 

 a(3y est inférieure ou supérieure à 2. 



L'équation (7') admet la solution cot V =^ cot V" = 1, qui ne convient 

 pas au problème de géométrie, et la solution cot Y =: cot V" =: 3 : celle-ci 

 donne : 



T = 12S, S" = 2S, T" = 24S = 2T, 



2 2 



a"2 = 2(i^ + c^) — - T = - {%■' + 2c'^ — a''\ etc.. 



6 6 



de manière que le triangle A"B"C" de la figure 2 devient semblable à 

 celui qui a pour côtés les médianes de ABC. 



5. — Les recherches précédentes peuvent être envisagées à un autre point 

 de vue : Si les parallèles menées parles sommets de ABC aux côtéS' opposés 

 forment le triangle A,BiCi, les points A', B', C (fig.i) sont les centres des 

 carrés construits extérieurement sur les côtés du triangle AiBiCj, et les 

 points A". B", (y (fig. 2) sont les centres des carrés construits intérieure- 

 ment sur ces côtés. 



Nous allons étudier directement cette nouvelle figure, en changeant les 

 notations. 



Soit donc ABC le triangle fondamental (jîg. oj, et soient A', B', C les 

 centres des carrés BCDE, CAFG, AlvHIÎ construits extérieurement sur BC. 

 CA, AB; les centres des carrés construits intérieurement seront désignés 

 par A", B", C". 



Les droites AA', liB'. V^C .sont, respedireini'iit, éf/d/cs et perpendiculaires 

 aux côtés du triangle A'B'C En effet, si A,. B,, Cj sont les milieux de BC, 



