3:2 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Où U = i T + 2S, U, = ^ T - 2S, 



et nous substituons ces valeurs de a'\ h'\ c'K a"\ b"^ c"" dans les éga- 

 lités ; 



16S'2 — l^a'^b'^ — Sa'% 168"^ = ^^La"^})"^ — Sa"*. 



Ln calcul facile donne: 



S' = i T + S, S" = i T - S. (9) 



La dernière égalité attribue à S" le signe + ou le signe —, suivant que 

 cot V > 2 ou < 2. 



En combinant les égalités (8) et (9), on trouve : 



,., 2cotV + 3 ^-.„ 2 cot V - 3 



cot V + 2 cot \ — 2 



La première des égalités (10) s'applique à la fois aux deux triangles 

 A'B'C, A"B"C", pourvu que l'on établisse les conventions suivantes: 



1" L'angle V est positif ou négatif, suivant que les carrés sont construits 

 extérieurement ou intérieurement sur les côtés du triangle ABC. 



2° L'angle V est toujours positif dans' le premier cas ; dans le second 

 cas, il est positif ou négatif suivant que la valeur absolue de cot V est plus 

 grande ou plus petite que 2, c'est-à-dire suivant que le triangle A"B"C" a 

 une orientation différente de celle de ABC ou a même orientation. 



Les points A", B", C" sont eu ligne droite lorsque cot V = —2; donc, 

 étant donné un triangle ABC dont l'angle de Brocard a pour cotangente 2, 

 les centres des carrés construits intérieurement sur les côtés sont en ligne 

 droite (*). 



Les formules (8) et (9) se prêtent à d'autres combinaisons intéressantes, 

 sur lesquelles nous n'insistons pas. 



7. — Construisons maintenant les parallélogrammes KAKAa, HBEB^, 

 DCGC3 ; soient A^, B^,, C^ leurs centres (jlg. 5). 



Les côtés AB, AC du triangle ABC étant égaux et perpendiculaires aux 

 côtés FA3, FA du triangle FA3A, les côtés restants BC, AA^ jouissent de la 

 môme propriété (théorème connu j ; donc A3, B^ C3 sont les quatrièmes 

 sommets des pseudocarrés externes dérivés de ABC, et (§ 1) A, B, C sont 

 les centres des carrés construits intérieuremerit sur B3C3, C3.43, A3B3. 



Les points A',]y,C' sont les milieux des côtés du triangle A^BsCsi*'^); 



(*) Cette droite, d'après un théorème connu, est un axe de l'ellipse de Steiner relative au triangle ABC. 

 (Conffrè.1 de Paris, p. 1(16.) 

 {**) Cette rcraaniuc est due à M. Edm. Van Aubel {Mathesis, t. 1, p. 168, et l. VI, p. 39.) 



