.1. KEL'DERG. — NOTES DE GÉOMÉTRIE 3" 



12. — Soient BCA", (:Air',AMC" trois tnangies semblables à un triangle 

 donné LMN et conslrnils intérieurement sur les côtés du triangle ABC ; il 

 existe un triangle AJifii dont les côtés sont égaux et parallèles aux 

 lignes AA", BLV, CC". On trouve aisément 



al (col L + cot M) = a" cot N + b' cot L + c^ cot M — 4S, 

 bl (cot L + cot M) = a^ cot M + 6^ cot N + c'- cot L — 4S, 

 cl (cot L -f cot M) = a^ cot L + b'' cot M + c^ cot N — 4S, 



T, (col L + cot M) = T cot i; — 12S, 

 4S, (cot L + cot M) =r T — 4S cot v. (-•=) 



Les points A.^ B.^. Q sont en ligne droite lorsque S2 = ; cette eondi- 



T 



tion r^ivient à cot v = j- = col V, et donne le théorème suivant, déjà 



connu : 



Si l'on construit sur /es côtés d'un triangle ABC, vers l'intérieur, trois 

 triangles BCA", CAB", ABC" semblables entre eux et équibrocardiens avec 

 ABC, les droites AA", BB", CC" sont parallèles entre elles, et l'une d'elles est 

 égale à la somme des deux autres. 



13. — Une pernmtation tournante des lettres L, M, N change les seconds 

 membres des égalités (1), (2), (3) les uns dans les autres. On en conclut le 

 théorème suivant : 



Si l'on construit extériewrment (ou intérieurement) sur les côtés d'un 



triangle ABC les triangles BCA', CAB', ABC semblables à un même triangle 



LMN, puis les triangles BCA^ CAB^ ABC', semblables à 3INL, les droites 



' ' t 



CC^ , AA^ , BB^ , sont p?'oporiionnelles aux droites BB', CC, AA' et font 



avec celles-ci un même angle. 



14. — Déterminons maintenant les côtés du triangle ABC en fonction 

 de ceux du triangle AiB^Ci (fig. 7). 



Des égalités (4) et (6j, on tire : 



cot^ V — 3 ^ 



, , , ,,, T ^ T, cot y — 12Si, 

 cot L -1" cot M 



, cot'^ V — 3 ^ ,^, 



4 ^ . , -r. S = 4Si cot V — 1\. 



cot L + cot M '■ 



Remplaçons S par sa valeur en fonction de Si et T, dans les équa- 

 tions (1), (2), (3); nous aurons : 



(*,) Celle formule aitriliueùS^ le bigne + ou le signe—, suivant que cot v < cot V ou > cot V. 



