.1. NEUBERG. — NOTES DE GÉOMÉTRIE S\) 



On observe que les seconds membres de ces égalités ne dinv-rent de 

 ceux des égalités du § 12 que par l'échange des lettres L et M. ('otte 

 remar([uo donne un moyen de retrouver le triangle ABC f|uand on 

 donne les triangles AiRiCj, LMN de la ligure 7 : 



SI l'on construit sur les côtés du triangle X^Efii, vers Ciitlo-irur, les 

 triangles BjCiX, CiAjY, AjBjZ semblables au triangle ML\. les droites 

 A [X, BjY, CiZ sont les côtés d'un triangle semblable à ABC. 



\o. — Considérons maintenant le triangle A'B'C (fig. 7). 



Le triangle AB'C donne 



fl'^ = ÂF' + ÂC'' — 2AB'. AC cos (A + L + M). 



Mais 



6 sin L csinM 



AB '-=1 —. — -r , AL — —. — r^ ; 

 sm A sm A 



donc 



n'^ sin'^ A = b- sin'^ L + c^ sin^ M + %c sin L sin M cos (A — A). 

 Le dernier terme se ramène à 



%c cos A . sin L sin M cosN -j- 'ibc sin A . sin L sin xM sin A 



= {b^ + c^ — a^) sin L sin M cos N + ^S sin L sin M sin A; 



par suite, 



a'- sin"' A = b' sin L(sin L + sin M cos A) 4- c^ sin M(sin M + sin L cos A) 

 — a^ sin L sin M cos A -f 4S sin L sin M sin A. 



Divisons tous les termes par sin L sin M sin N et observons que 

 sin L sin (M + A) 



sin M sin A sin M sin A 



cot A + cot M, etc. ; 



nous aurons 



a'^(cot L + col M) = — a-Qoi A + //-(cot M + 2 cot Aj 

 + c'(cot L + 2 cot Nj + 4S. 



Introduisons les trois angles L', M', A' défmis par les équations : 



cot M' r3i cot L + 2 cot A, cot L' = cot M + 2 cot A. cot A' — — cot .\ ; 



•comme ; 



cot L' col M' + cot M' cot A' -f cot A' cot L' = 1. 



