40 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



on a L' + M' + N' = tt; ces angles sont ceux d'un tri;ingip L'M'N' sem- 

 blable au triangle ML,>' qu'on obtient en prolongeant L.N de .NLi = LN. 

 Le côté a' sera donné par l'équation 



«'•^(cot L' + cot M' 4- 4 cot N') = n" cot IS' -f- ô'^ cot L' -f d" cot M' -f 4S. 



Comparant ce résultat à l'égalité (1), on trouve la propriété suivante : 

 S>\V on comlruil extérieurement sur les côtés du trianr/lc \]\C les trinnr/les 

 BCXi, CAYi, ABZj semblables au triangle L'.M'N'. le-s droites AX,, RY,. CZ, 

 sont pi'oportinnnel les aux côtés du triangle A'PiT/. 



Nous laissons au lecteur le soin de déterminer a, b, c en fonction de 

 «', h\ c' et de retrouver le triangle AliC, étant donné le triangle A'H'C ; 

 ces questions ne présentent aucune difficulté si l'on se rapporte aux §§ 10 

 et 14. 



16. — l'our terminer ces développements, nous allons traiter les mêmes 

 questions par la méthode des équipollences. 



Désignons par a. b. c, a^, b^. (\. a', b', c' les droites AH, BC, CA, AA', 

 BB', ce, B'C, C'A', A'B' (fig. 7), considérées en grandeur et en direction. 

 et posons 



AC , BC 

 AB ~ BA ' 



Les droites AC, CB. BA'. A'C CB', B'A seront représentées en gran- 

 deur et en direction par Xc, [u-, }m, [xa. Ib. [xb, et nous aurons 



La ligure donne immédiatement : 



'o^ 



«1 = c -\- al, 6, rrr fl -f- bl. C ^ =i b — c'/.: (9) 



a' =2 b]x -\- CA, b' = cix -j- al, c' = a[x -j- bh. (10) 



Comme Oj + ^i -p Cy = 0, les droites AA', BB'. CC sont éfiuipollentes 

 aux côtés d'un même triangle AiBiCi. 

 Résolvons chacun des systèmes (9) et (10) par rapport ;"i a. />, c: il vient 



a,l' + b, — c,A 

 a = — ;! — -— — — , etc. 



V' + 1 



- a'hj. + b'X' — c''/' 

 a — '-—- — , etc. 



Transformons ces valeurs en éliminant l'une des quantités r/,. b^. c,. ou 



