.1. NELHKRG. — NOTKS DE GÉOMÉTRIE 41 



«', h\ e', au moyen des identités a^ + 6j -|- c, = 0, a' -\- h' -j- c' = 0: 

 nous aurons : 



" ~ x-^ — X + l ~ ~ V' — X + 1 ~ X' — X + 1 ' 



_ ô'X -f- c> 

 « — — -. \ 1- 



A A'J. ^t^ [J.- 



11 en résulte : 



abc 



bi[i. — c^k Cifji — a^X «jp. — ôjX 

 a 6 c 



«6c 



6'X + c'iK c'X 4- a'a a'X + b'ij. 



(11) 

 (12) 

 (13) 



Ces proportions donnent les moyens de retrouver le triangle ABC, quand 

 on connaît l'un des triangles AiB,Ci, A'B'C. 



Ainsi, .si l'on construit sur les côtés du triangle AiBjCi, vers l'extérieur, 

 les triangles BjCiXi, CjAiVi, AjBjZi semblables à hWS, ou vers V'intér'ieur 

 les triangles BiCiX, CiA,Y, AiBjZ, les côtés du triangle ABC sont propor- 

 tionnels aux droites Joignant Aj. B,, Ci aux milieux des lignes ^J^i, ^i^i, 

 X,Y,, ou proportionnels aux droites A^X, BjY, CJu (*). 



Si l'on construit sur les côtés du triangle A'B'C, vers l'intérieur, des 

 triangles B'C'X', C'A'Y', X'BT semblables au triangle-SlLS, le triangle X'YT 

 est semblable à ABC. 



Cherchons dans quel cas les triangles AjBjCi, A'B'C (fig. 7) sont direc- 

 tement semblables. La condition de la question s'exprime par l'égalité : 



a. b. c -4- al a 4- bX 



-^ = -TT' ou — 



a' b' b\t. -j- cX c\K -L «X 



(ju'on ramène facilement à la forme : 



(c^ — abyj. — (b- — ar)hj. -f {a^ — bc)l^ = 0. 



Si Ion multiplie le premier terme par X -f- 1-^ et qu'on remplace c par 

 — {a -\~ b), on trouve : 



« 



(«. + ,,6 + 6^)^X-^ + Ix^) = 0; 

 par conséquent : 



a^ + ab -\- b' :zz: 0, ou X^ + {A^ = 0. 



(*) M. H. Van Aubel a lemai-qup que la figu:e AiV,XZi est un parallélogramme (Mathcsts, t. I. 

 p. IIS.J 



