.1. NEUBERG. — NOTES DE GÉOMKTIUE 43 



colé BC. Le triangle AHC est inscrit à S^^; les tangentes en A, H, C ren- 

 contrent les côtés opposés en trois points a^, Pj, y^ qui sont en ligne 

 droite. On en conclut que la tangente en A coïncide avec la bissectrice de 

 l'angle BAC. 



19. — La courbe ^^^ est, évidemment, une hyperbole. Pour trouver 

 les directions asymptotiques, il faut chercher une position de la droite ^y 

 telle que les lignes BjB, Cy soient parallèles. Si p., yg est cette position, on 

 conclut du parallélisme des lignes BjSg, Cyg la proportion 



AB : AP3 =: Aya : AC; d'où Ap^ = Ayg = \/bc, et AB : Ap, = y/c : \''b. 



Prenons aussi, sur le prolongement de CA, une longueur AjB'g = \/bc', 

 la seconde asymptote de ï;^, est parallèle à la droite BS'g. 



Soient Ai, B,, Ci les milieux des côtés du triangle ABC; si Ton prend 

 AiBiCi pour triangle de référence d'un système de coordonnées normales, 

 les asymptotes de 2^^ ont pour équation : 



\/b s/c \/b y/c 



40. — La tangente Axi est perpendiculaire aux milieux \\ Q des tan- 

 gentes Bpi, Cy^; par suite, les points P, Q appartiennent à la circonférence 

 de Monge, qui a pour centre Ai et pour rayon \/X' — ;j.-, X et [x désignant 

 les demi-axes de 2 . 



Cette circonférence a pour diamètre la distance des points a. 7/ oîi le 

 côté BC touche le cercle inscrit I et le cercle ex-inscrit I.^, car A^P :t= A,a. 



1 1 



.. Comme AiP = - C'i^ = - {b — c), on a 



À^ - '/' =\{b-c)\ 



Soit âcîla longueur du diamètre conjugué avec BC ou parallèle à Bp^. 

 D'après un théorème connu, 



d' = BP . CQ = b sin -^ . c sin-^= 6c sin^:^- 



2 2 2 



Appliquant le second théorème d'Apollonius aux diamètres conjugués 

 BC = 2a et 2rf, on trouve 



, 1 ,- A . B — C 1 ,- 



^l^ — ^ ^ybc sm ^ sm — - — _ -(b — c) y' bc sin A; 



ensuite 



{!' -f {x"-)- = '^ /^'" ib-' + c' — 26c cos 2A). 



