60 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



à droite du point A^, le point M, qui a une vitesse moindre, ne peut plus 

 le suivre à distance constante. 



Examinons en second lieu la solution (|iii résulte du changement de 

 signe du radical, et qui consiste à poser 



(9) 



dt = 



Idz.[\/b'^ — a'^ cos'^ o — a sia -f) 



cr- — b- 



La parenthèse du second membre est encore négative, ce qui exige 

 que dzf reçoive des valeurs négatives. L'angle o variera donc encore 

 de t: — o^ à 'ip. La seconde solution se déduit d'ailleurs de la première en 

 changeant a en — a dans les équations (7) et (8). On trouvera, en défini- 

 tive, pour le temps T' du trajet qui amène l'angle 9 de sa valeur maxi- 

 mum - — 9^ à sa plus petite valeur z>^, la formule 



(10) 



T'=r 



2/6 



2/rt 



a' — b' 



a' 



E - ^ F 



1 ,.1' 



a 



elle tableau ci-dessus pourra s'appliquer à ce nouveau cas. en y opérant 

 le changement de signe de a dans la colonne des valeurs de t. 



Mous obtenons ainsi (fig. 10) un nou- 

 vel arc de courbe M^ M'^ M'^, qui sera 

 décrit dans le temps T', pendant que le 

 point A parcourt sur Taxe OX une 



A„ A'. = T' 



L'arc 



X' 



a; 



Fig. 10. 



longueur 



Mj, M'^ M', est tangent en M^j et en .M.^ 

 aux rayons M^ .\^, M', A.',, qui font 



l'angle o^, avec l'axe des abscisses. 



.\rrivé en M^, le mobile .M se trouve 

 arrêté par la même impossibilité qu'au point M., de la première solution. 

 Chacune de ces deux solutions est d'ailleurs réversible. Si le point A, 

 parvenu, soit en A.,, soit en A'„ revient sur ses pas en conservant la vi- 

 tesse a, le mobile M parcourra soit l'arc M., .M, M^. soit Tare M', Mj Mj^. avec 

 la vitesse b changée de sens. Cette remarque nous permet de prolonger le 

 mouvement du point M. lorsfjue b est << a. moyennant qu'on assujettis.se 

 le point A à des mouvements rétrogrades le long de OX, alternativement 

 répétés. 



Imaginons (fig. H) que le point A. parti de A^ à l'époque / — 0, et parvenu 

 en Ag au bout du temps T. revienne sur ses pas de A., à A,, en conservant 

 dans ce sens la môme vitesse a pendant le temps ï'. I\^ndaul la première 

 durée, le point M parcourra l'arc M^, M, iM^ connue par la première solu- 

 tion; pendant la seconde, il parcourra l'arc M., .M., M,_, fourni par la seconde 



