70 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



On a en effet 



b'' — a"" ' 6^ — a^ 



AqAj j., ^^, I ,_, ,., t.1, 





Donc AoA, — ^, _ ^, = B^B, = A,A, + ^, _ ^, = B,B, = ^, _ ^, E, ; 



de sorte que la courbe lieu des points B a, comme la sinusoïde, la pro- 

 priété de couper l'axe des abscisses en des points également espacés ; 

 ses écarts maxima par rapport à la ligne moyenne sont égaux en valeur 

 absolue. La droite CnB^ étant normale à la courbe au point Bo, l'angle de 



la courbe avec Taxe OX est égal à - — w, ou au complément de 1 angle 



en Mo formé par la trajectoire. 



En définitive, le centre B du cercle roulant décrit une sorle de sinusoïde 

 qui a l'axe OX pour ligne moyenne. X l'écart maximum AjBj ou A3B3 

 près, le lieu des points M est la cycioïde accourcie qui serait engendrée 

 par un point lié à un cercle fixe, dont le centre parcourrait la droite OX, 

 en subissant autour de son centre un mouvement de rotation uniforme. 

 On retrouve, en effet, les boucles de la courbe cycloïdale, avec une altéra- 

 tion qui amène, en général, les points doubles en dehors de l'axe OX. 



Du centre instantané C (fig. ■17 ) abaissons une perpendiculaire CP sur la 

 droite AM. Le point P sera le point oîi la droite mobile touche son en- 

 veloppe. La vitesse de ce point, considéré comme lié à la droite, est égale 

 à a cos <p, ou à b cos [x. Sur la figure 18, on voit que le point P coïncide 

 avec Ao, A^, A^, ... quand 9 est égal àO, 71, Stt, ... et qu'il coïncide avec les 



points Cl, C3, quand 9 est égal à- » -^5 ... Le lieu du point P est d'ail- 

 leurs tangent aux droites A^Mo, AjMi, A2M2; c'est une courbe telle que 

 AoCiAjCjAi, tangente à l'axe OX en Ao, Aj, A4, et ayant des rebrous- 

 sements tangents à la verticale en Cj, C3, . . . 



4" l*a5sons à l'examen du second cas, a > b. 



Le lieu des points C (fig. 19) dont les distances aux deux points A et M 



sont dans le rapport - ? est une circonférence, qui cette fois enveloppe le 



point M ; le centre instantané de rotation C est à l'intersection de celte 

 circonférence et de la perpendiculaire AN élevée en A à la vitesse a. La 

 circonférence, mobile avec le rayon AM, roule au point C sur une courbe 

 directrice LL', et l'on vérifie aisément que les tangentes à la circonférence 



