80 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



mouvomenis uniformes, soit que les points s'arrêtent brusquement, soit 

 qu'ils échangent leur vitesse pour une vitesse égale et contraire. En 

 réalité, il faudrait admettre qu'à l'approche des points de rebrousse- 

 ment. les vitesses se réduisent graduelieinc-nt jus([u'à zéro, pour passer 

 ensuite par degrés insensibles à la même valeur jirise en sens contraire. 

 Ces altérations des vitesses ne changent rien à la trajectoire du point M, 



L 



pourvu que le rapport - conserve constamment la même valeur. Mais, 

 il en résulte une augmentation des durées T et ï' des trajets .M„M2 et-MoM^. 



Quadrature des courbes 



On peut considérer l'aire de la courbe, soit comme la somme des élé- 

 ments ytlic, pris entre deux ordonnées déterminées, soit comme la 

 somme des aires élémentaires engendrées par le rayon mobile AM, de la 



même manière que la tige mobile du pla- 

 nimètre d'Amsler balaie l'aire que l'instru- 

 ment permet d'évaluer. Les limites de 

 l'intégration sont alors deux positions dé- 

 terminées du rayon A M. Occupons-nous 



d'abord de ce second point de vue. 



La droite mobile AM se transporte dans 

 la position infiniment voisine A'M' par 

 une translation qui lui fait engendrer le parallélogranmieMAA'N, puis par 

 une rotation autour de A' qui lui fait décrire le secteur NA'M'. Aux infi- 

 niment petits d'ordre supérieur près, l'aire MAA'M' est la somme de ces 

 deux surfaces, et en appelant dS l'aire élémentaire, on a 



(11) r/S =:/m//sin?+ ^/•^d'f 



Xous supposons, d'après la figure, a <^ h. On a alors 



Idy hi^ (b sin t<. -j- a sin 9) 



dl — 



bs'in^ — a sin 9 b'^ — a 



en appelant [x l'angle M'MA, lié à cp par la relation 



b cos a = a cos o. 

 Un en déduit 



b sin 'j. d\j. ^ (/ sin 9 (/v». 



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