82 MATHKMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



il viendra, en définitive, 



l- 



S — 



'-'0,2 — 



sin'' (o 



/ - — ((1) — - sin ^2(0 y 



/ 



sni (o 



est le rayon de courbure ç^, au point M,,. Du point C,,. centre 



A A' 



de courbure, comme centre, avec C„Mo ~ po pour rayon, décrivons le 



cercle osculateur MoDE (fig. 29). Le segment M^FD, 

 détaché par l'axe OX, a pour mesure 



1 



fo('^ — 2*'"-'^)5 



l'iG. 30. 



et par conséquent le segment M„ED, qui com- 



plète le cercle, a pour mesure p^ 



[M — - sin 2u)j 



5 c'est-à-dire 



qu'il est équivalent à l'aire MoMiM.;,. 



Lorsqu'on donne à o des valeurs supérieures à - et inférieures à 2?:, 



l'aire élémentaire 



1 

 rfS =:: ladt sin ? + ^ l'^df 



devient la somme algébrique de deux termes de signes contraires; le 



\ 



secteur - /'^c/ï» reste positif, tandis que le parallélogramme, /adt sin 9, 



devient ni'gatif avec sin ^. 

 heux positions consécutives du 

 rayon AM se coupent en un 

 point 1*. situé entre A et M 

 [jUj. SO) ; laualyse attribue le 

 signe — à Taire P.Al.M' cl le 

 signe — à Taire AA'P. 



Dans le passage de la posi- 

 tion AjM^ à la position A3.M3 

 (fig. 3'/), lorsque 9 varie de r. 



à -^' la droite mobile A.M. pi- 



llG. M. 



votant successivement autour des divei'S points m. n. p. ... de sa courbe 

 enveloppe X^C^, engendre d'uu côté des secteurs positifs DM.M'et de l'autre 

 des triangles négatifs PAA'. Toute Taire A^wnpCgAs. située à gauche de 

 l'ordonnée AyM.,, disparaît dans la souune algébrique des éléments cor- 

 respondants ; car charjue élément inliniment petit se trouve compris à la 

 fois dans les secteurs positifs et dans les triangles négatifs. Il reste donc 



