90 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE. GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



plan soit complètement résolu, surtout d'une manière simple. On sait que 

 le problème admet quatre solutions, c'est-à-dire que d'un point quel- 

 conque P du plan d'une ellipse K il est toujours possible de mener 

 quatre normales telles que leurs pieds sont situés sur une hyperbole équi- 

 latère qui passe par le point P et par le centre de l'ellipse E, et dont les 

 asymptotes sont parallèles aux axes de E(*). 



MM. d'Ocagne, Lebon, Catalan et d'autres géomètres ont fait remar- 

 quer (**) que le problème est assez facile à résoudre lorsque les points d'où 

 l'on veut mener les normales sont sur les axes, et. pour notre part, nous 

 nous sommes occupé, parfois, de cette question, cherchant des points spé- 

 ciaux du plan de l'ellipse auxquels corresponde une solution simple du 

 problème en question. 



Dans cette note, nous nous proposons de présenter quelques-uns des 

 résultats que nous avons obtenus. 



2. — Des points w définis par les expressions: 



x'^=^ - (a — h) .cos a 

 a 



.' = ?(. 



(1) 



a) sin a 

 dont le lieu est l'ellipse : 



on peut toujours mener des normales à l'ellipse Edont les demi-axes sont 

 a et b. En effet, d'après les expressions (1), on a : 



tanga = - - 



OjV X 



Menons du centre f/?/;. i) de l'ellipse une droite faisant un angle a défini 



par l'expression précédente, avec le 

 grand axe de l'ellipse, et portons.de 

 part et d'autre du centre les lon- 

 gueurs OD = 6 et 0D'= a. 



Si l'on prend DOD' pour grand 

 axe d'une seconde ellipse E', son 

 cercle principal coupe E en quatre 

 points: P, Q, R, S, et en joignant le 

 point w à Q, R, S, on awQ, wR, w S 

 trois droites normales à l'ellipse E, Q. 



R, S étant leurs pieds (***). Le pied de la quatrième normale issue de w 



(*) N. C. M. 188'., p. 2/i1 (Nouberp). 



(**) J. E. 1887, p. 29-31, no-m el K. M. C. fd'Ocagne, 1886) ; J. E. 1887, p. 82-83 et 133 'Catalan); 

 N. A. M. (E. Lebon ) ; Briot et Bouquet, Tiiiilt-ilc Gi'ornéliie anahj. 1887. p. m; N.A.M. i. I.XIX, 1860, 

 questions 517 à 521, 9o-96, 235-239 et, en 1863, questions 326-328 (Ileilermann). 



(•*•) J. Kœhler, Exercices de géométrie analy . et de géométrie supérieure, t. I, p. 67- 



I'k;. 1. 



