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est au point p. diamétralement opposé à P (théorème de Joachimsthal) (*). 

 Les cordes liS, SO. Qli enveloppent le cercle fixe : 



a'ù- 



x"- + r 



{a + bf 



3. — Nous avons démontré qu'il est extrêmement facile de mener des 

 normales à une ellipse E par des points situés sur les 

 cercles dont les rayons sont a — h oXa -{- b i^"^). 

 Il suffit de remarquer (fî(i. 2) que la normale au 

 point M coupe respectivement en D et D' les cercles 

 dont les rayons sont a — b et a -\- h, de manière 

 que DM = D'M = OM', qui est le diamètre conjugué 

 de OM. Or, le cercle dont le rayon est a — 6, est le 

 lieu des points jde concours des normales issues des 



points de contact de l'ellipse avec les côtés d'un triangle dont le cercle 

 des neuf points est le cercle principal de E' (***). 



Sur la circonférence dont le rayon est a — 6, il y a un point (**=■=*) tel 

 que la normale menée à l'ellipse E passe par le point de la déviation 

 maxima de M. d'Ocagne ^*****). 



Le point considéré est tel que la droite qui le joint au centre de 



renipse fait avec ,e ,ra„d axe un a„„e doot ,a .a„,e„te e. s/j, , - 



La circonférence dont le rayon est a -f- b, et de laquelle on peut mener 

 des normales à l'ellipse E, est circonscrite au triangle formé par les 

 bissectrices extérieures du triangle QRS, lesquelles sont tangentes à 

 l'ellipse E'. 



4. — On peut aussi abaisser des normales à l'ellipse E des points portés 

 sur l'ellipse: 



(a^ + b'^Y . {b^x^ + aY) = a'^à^C 



concentrique et homothétique à l'ellipse donnée, dont le rapport de simili- 

 tude est 



a"+b^' 



C) Ce théorème, un dos plus importants de la théorie des normales à l'ellipse, s'énonce 

 ainsi: la circonférence qui passe par les pied n de trois normales passe aussi par le point diamétra- 

 lement opposé au pied de la quatrième normale. Sa démonstration se rencontre dans le Journal 

 de Crelle, t. XXVI. On peut aussi consulter: N. A. M. i"-» série, t. VI, p. 370 (Mention) ; t. VII. 

 p. 246, 332, 395 (Pistoris. Catalan); t. IX, p. 170 (Terquem) ; t. XIX, p. 233 (Desboves) ; 2« série, 

 t. VUI, p. 472 (Gerono) ; N. C. M. t. V, p. 161 (Lucas). 



(**) P. M., t. I, p. 19 (R. Guimarâes). 



(***) Kœhler, œuvre citée, 1. 1, p. 70. 



(****) P. M., 1. 1, p. 119. et B. s. M., t. XX, p. 19 (R. Guimarâes). 



(*****) N. A. M., 3« série, 1886 et 1888 (d'Ocagne). 



(******) P. M., t. I, p. 120, et B. S. M., t. XX, p. 19 [R. Guimarâes). 



