02 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIOUE 



En effet, d'après le théorème de Frégier, pour mener une normale 

 à l'ellipse E, il suffit de joindre le point au centre et de mener 



ensuite (fig. 3) un rayon OP tel que POS = SOQ. 

 La droite IP qu'on obtient en joignant les points I 

 et P sera la normale demandée. Ce procédé est 

 une conséquence immédiate de la proposition sui- 

 vante due à Frégier : si l'on considère, sur la 

 normale en P à une ellipse, le point I oii se coupent 

 toutes les cordes vues de P sous un angle droit, 

 ce point I décrit une ellipse homothétique et con- 

 centrique, lorsque le point P parcourt l'ellipse don- 

 née E (*), 



FiG. 3. 



Des points dont les coordonnées sont 



X = 



y 



a* + b' 



b' 

 rt* -^ b' 



^a' 



(2) 



V'a" + 6* 



on peut mener une normale à l'ellipse E. En effet, on sait que OAi, Bfi 

 étant le rectangle déterminé par les axes d'une ellipse (indéfiniment 

 prolongés) et une corde quelconque AiMjMiBi, prise comme diagonale ; 

 N le point de concours des tangentes menées par M^ et Mj, P, celui des 

 normales correspondantes, le diamètre perpendiculaire à la droite ON passe 

 par le point P (**). Alors, si Ion suppose que la corde AiMiM^Bi devient 

 tangente à l'ellipse E et qu'elle est également inclinée sur les axes, on 

 trouve que le point de contact a pourcordonnées: 



a' 



X = 



b-' 



\/a' + 6^ 



y 



v'a' + h' 



et on trouve de suite pour la valeur des coordonnées du pied du diamètre 

 perpendiculaire à la droite CN les expressions (2). 



-Nous avons déjà considéré cette normale (=•% laquelle passe par un 

 point D, également écarté des axes de l'ellipse et dont la distance 01) au 

 centre est exprimée par: 



1 



0D= — 



V''2 \fa'- 



(*) J. Kœhler, œuvre citt5e, 1. 1, p. 58. 



(*'.i N. C. M., 1884, p. 246 (Neubcrg). Cette proposition conduit à une nouvelle construction , due à M. de 

 l.ongchamps, du centre de courbure relatif à un point M : il suffit de remplacer la droite AiB, par la 

 tangente en M. 



{.*) S. s. M. A., t. XI, p. 56, et B. S. M., t. X.\, p. ■2\ lî. (;uiiiuir5os). 



