RODRIGUES. — LOIS DE KEPLER DANS LA RÉTROGRADATION DES PROJECTILES 99 



(loù l'on déduit réquation de Kepler : 



z = (' sin ; (4) 



étant ; 



"Itz . ea 



g'\/l — e' 



la durée d'une révolution du vecteur autour du pôle. 

 On déduit de l'expression (4) 



1 — e-' r- 

 ou: 



T.., _^ cr' 4z'^ 



c'est-à-dire : les carrés des temps des révolutions du rayon vecteur autour 

 du pôle sont proportionnels aux cubes des grands axes des hodographes. 

 C'est la troisième loi de Kepler. 

 4. — En désignant par x' et y' les composantes de la vitesse 



, dx , , dii 



a- ^ -7- = r cos 6, y = -f- = v sm d, 

 dt ' -^ dt 



les équations du mouvement sont : 



dx' . dy' 



— - = r sin 0, —■=-. — r cos h- — 7' . 



df. dt ■'■ 



et en les dérivant par rapport à / : 



d^x' da d'^y' . rfO 



— -— = r cos . -- T -4- = ?' sm . — : 

 dl'' dt df dt' 



en vertu du théorème des aires, il en résulte les équations du mouve- 

 ment du vecteur : 



d^x' r'p d^y' r-p 



— — -- . cos 0, -i~ =^ f . sin 0, 



dp V- df r- 



d'^x' r'p , d'y' r-p 



—, — = — m . —r . X , m . —^ = — 711 . — ^ 



df r-' dt- l"^ 



qui représentent aussi les équations du mouvement elliptique. 



Il résulte, de ce que nous venons d'exposer, que la force qui sollicite le vec- 

 teur autour del'origine du mouvement est constamment dirigée vers le pôle 



