G. OLTRAMARE. — INTÉGRATION DE QUELQUES ÉQUATIONS 107 



Pour on obtenir l'intégrale complète, il suffit de déterminer l'intégrale de 

 cette équation lorsqu'on y suppose le second membre nul. 

 Nous avons, dans celte hypothèse : 



équation qui est satisfaite en posant 



Si donc l'on désigne par fi^ ]'uue des a racines de l'unité, nous 

 aurons : 



Cette valeur de e"' mise dans relation (3) donne 



log ^(x) = G(3^î/irî)' = c(p,;7:=i:r. 



Si donc [i^, ^^, ,8^' ••• Pa_i l'eprésentent les a racines de l'unité, nous 

 aurons comme intégrale générale de l'équation (2) avec second membre 

 nul : 



K=a—i 



\og's{œ)=^ C,(p;(/-iy 



K=0 



et pour intégrale complète de l'équation (2) 



K=ffl — 1 nz= 00 



log cp(a-) = 2 C,(p, Î/"=IT + 2 (- 1)" »«g F("^ + «'^) 



K=0 »!=0 



par suite, la valeur de 'ffx), qui satisfait à l'équation proposée (1), sera 

 exprimée par : 



K=a— 1 „ ^ n—70 



S C^{K^-^) + ^ (- 1 j" log Fi.r + an) 

 , , K=0 »=0 



■^[x) = e 

 que l'on peut écrire sous la forme : 



fW - ^, »-, • • • F(a; + a)F(a^ + 3«)F(aj + 5a) 



intégrale qui renferme a constantes arbitraires. 



H. — Intégration de l'équation 



<p{x + tt)"V(« — bf = ¥{x), 

 V(x) désignant une fonction donnée. 



