É. LKMOINE. — NOTES DE GÉOMÉTRIE 133 



l'on en déduit une construction facile de ce point. //«, /'/,, h^ sont les trois 

 hauteurs. 



On construirait d'une façon analogue les trois points M^, M^, M^ déduits 

 de ce dernier par transformation continue , points jouissant, naturellement, 

 de propriétés déduites par transformation continue de celles du point M. 



Le point M^^ a pour coordonnées: — (4r^ -f h\, 4r^ — Z/^, 4?-^ — li^. 



IL — Les points jumeaux des points de Narjel et de Gergonne, 



f) — a 

 pomts qui ont respectivement pour coordonnées normales ^ — ^ , etc.; 



-. -— -; — ; r— , etc.,sont sur l'hypcrboIe équilatèrc circonscrite 



(6 — 0)^4- a (6 -j-c — 2a) ^^ ^ 



dont l'équation est : S(/> — c)(p — a)yz = 



(l, c)'^{n • a) 



laquelle a pour centre le point : —^ - etc. , point de contact 



du cercle des 9 points et du cercle inscrit. 

 Si l'on applique la transformation continue en A, on a le résultat sui- 



vant : le Jumeau du point — -^ ^^— - — , î— — et le jumeau du point 



1 1 1 



' j-, ;: ' —. T- qui ont respectivement pour coordonnées : 



p p — c p — b 1 



et ■ 



c + 6 + 2a a — c-^'2b a — b-^2c ' {b — cf — a{b + c + 2a; 



1 1 



(a -f- c)^ — b(a — c + 26) ' [a + b)' — c{a — b -^ 2c) ' 



sont sur l'hyperbole équilatère qui a pour équation : 



(6 — c)pijz + (a + c){p — c)zx-~ {a + b){p — b)xy = 0, 



et dont le centre est au point de contact du cercle des 9 points et du cercle 

 ex-inscrit de rayon r^, etc., résultat qu'il ne serait pas commode d'établir 

 et surtout de prévoir autrement. 



in. — Soit ABC un triangle, le lieu des points M tels que, si Von joint 

 AM, BxM, CM, ces trois droites coupant respectivement BC, CA, AB en 

 trois points A', B', C, qui forment sur les trois côtés les six segments CA', 

 A'B, BC, C'A, AB', B'C, la somme de trois segments CA' + BC + AB' 

 n'ayant pas d'extrémité commune soit égale à la somme des trois autres est 

 la cubique qui a pour équation en coordonnées barycentriques: 



