É. LEMOINE. — NOTES DE GÉOMÉTRIE 13o 



2° A A,, B B„ C,C étant dans les angles opposés par le sommet à 



A, B, C; 

 3° B^B^., C^C„ étant dans les angles B et C, A^A^, dans l'angle opposé 



par le sommet à A ; 



4° B^B^., C^C„ étant dans les angles opposés par le sommet à B et à C, 

 AçA^ étant dans l'angle A, etc. Il suffira d'étudier le premier cas; le 

 second s'en déduira en changeant / en — / dans les résultats obtenus et 

 les six autres s'obtiendront immédiatement par la Irans formation continue 

 en A, en B et en C, opérée sur les deux premiers cas. 



Premier cas. — Soit AiBiC^ le triangle formé par les trois droites 

 AA' B,B„. C„C,. 



a) Les trois droites AAj, BBj, CCi se coupent en un point dont les 



/ — al — b l — c 

 coordonnées normales sont — — ? ,, ' — — • 



a^ 0^ c^ 



Le lieu de ce point est la droite dont l'équation est : 



aSb — c)œ + bHc — a)y + c^(a — b)z = 



1 1 1 



qui joint le centre de gravite au pomt - . m ' 1" 



b) Le lieu de Aj est la droite ax{b — c) — bcjj -f- bcz = 0, qui passe 

 par le pied de la bissectrice sur BC et par le point symétrique de A par 

 rapport au milieu de BC. 



Les trois lieux de Aj, de Bj et de C^ se coupent au point : 

 — bc^ca-\-ab^ ^^^^ ^^^.^ j ^^ ^ ^^^^ ^^^^^^^ ^^^^ ,^ 

 a 



c) L'équation de A^A^ est : axl -\~ bij{l —a) + cz{l — a) = 0. 



d) L'hexagone Aj,A^.B^B^C/.^ n'est circonscriptible à une conique 



abc ., , , ^L' ' 



aue lorsaue / = , i — r ^ il a, dans ce cas, tous ses cotes égaux 



^ ^ bc -{- ca -f- ab 



et les droites C^B^, A^C^, B,A,, se coupent au point b ^c, c -\-ji, a + 6. 



L'équation de la conique inscrite est : s/ x -\- \/ y -\- \/ z = 0. Si 



a, p, Y sont les points oîi cette conique touche A,,A^. B^,B^, C^Cj,, les 



1 1 1 



trois droites Aa, Bp, C se coupent au pomt — j — » — • 



Q/ C 



e) L'hexagone A^» \^c' ^b^a ^^^ toujours inscriptible à une conique 

 dont l'équation est : 



^aH{l — b){l — c)x' +^bc{I — a)[p + (/ — b) (/ — c)^zij = 0. 

 Ce qui se rapporte aux sept autres cas s'obtient immédiatement de ces 



