138 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



§ 2, — Quelques lieux géométriques. "; 



1. — Soit ABC un triang/e, A', B', C trois points de son plan tels que 



AB' et AC soient symétriques par rapport à la bissectrice de A, ■ 



BC et BA' — — — cleB, \ 



CA' et CB' — — — deC. ] 



On voit facilement que l'hexagone AC'BA'CB' est toujours circonscrip- { 



tible à une conique, parce que les droites AA', BB', CC se coupent en I 



un même point 0. Cela posé : 1° si on suppose que CX' et CB' sont fixes, [ 



le lieu de est une conique ; 2° si AC/BA'CIV est inscriptible dans une co- j 



tiique, le lieu du centre de cette conique si CA' et CB' varient, est aussi ^ 



une conique. ' 



Prenons des coordonnées normales et ABC pour triangle de référence. i 



Soient : ; 



y = Az et ly = z les équations de AB' et de AC, ; 



z = IJ.X ei iiz =z X — BC et de BA', ■ 



X := vy et >^x = y — CA' et de CB'. ' 



Si rhexagone AC'BA'CB' est inscriptible, les couples des côtés opposés i 

 de cet hexagone se coupent en trois points en ligne droite, ce qui donne la 

 condition : 



>2 4- ;,.2 4. v-^ — 2X;jiv —1=0. 



Les coordonnées de étant À. a, v, l'on trouve que, si v est fixe, le lieu 

 de est dans ce cas la conique : 



w''{x-' + y^) + (v^ — l):;''^ — 27^X1/ = (1) 



Si V varie, le lieu des centres de la conique (1) est la conique ; 



c{ay — bxY — z{b^ — a%ax — by) = 



qui touche AB au pied de la symédiane partant de C, qui passe au point C 

 et qui a pour centre le milieu de la distance des points de Brocard. C'est 

 toujours une hyperbole non équilatère et elle est tangente en C à la mé- 

 diane partant de C. 



U. — Le lieu des centres des coniques inscrites à un triangle et telles 

 que le produit de leurs axes égale la surface du triangle, est une cubique, 

 qui a pour équation en coordonnées barycentriques : 



(a + p + y)-'' _ (_ a + S + Y)(a - p + ï)(« + P - ï) = 



