É. LEMOINE. — NOTES DE GÉOMÉTRIE 139 



III. — Le Heu des points M du plan d'un triangle ABC (pris pour triangle 

 de référence) tels que : MÂÏi + MHC -f- MCA = MAC +>MBA + MCH, 

 est la eubique qui a pour équation : 



Va:(?/'-' — Z-) cos A =: (coordonnées normales). 



Cette cubique circonscrite est sa propre inverse ; elle passe par le centre 

 du cercle circonscrit, par l'orthocentre où elle est tangente à la droite 

 d'Euler, par les centres des quatre cercles tangents aux trois côtés; elle 

 coupe les côtés aux mêmes points que les droites qui joignent les sommets 

 au centre du cercle circonscrit. 



§ 3. — Deux modes de génération de quelques points remarquables. 



I. — Si .r. y. z sont les coordonnées normales d'un point Jo, 

 Si J^, J,^. J,. sont les symétriques de J„ par rapport aux milieux respec- 

 tifs de BC, CA, AB, les trois droites A.I^,, BJ^, CJ^ se coupent en un 



by -i- cz cz -\- ax ax -\- hy ^ . 

 point Ji qui a pour coordonnées — 5 ? • Cela pose : 



Si Ju est le centre du cercle inscrit, Ji est le centre de gravité du péri- 

 mètre. 



+ r 

 Si Jo est le point : p— a, etc., Jj est le point : "- du centre de gravité 



du périmètre. 



1 



Si Jo est le point : -^, etc., J^ est le point : {h -\- c), etc. 



Cl 



1 



Si Jo est le point : —, etc., Ji est le point qui est au milieu de la dis- 



tance des points de Brocard. 

 Si Jo est le point de islagel :- -, etc., Ji est le centre du cercle inscrit. 



ah -{- ac — hc ^ , , . ^ I 



Si Jo est le point : , etc., J, est le point : -, etc. 



Si Jo est le point : cos A — cos B cos C, etc.. Jj est l'orthocentre. 



\ 



Si Jo est le point de Gerqonne : — -, etc., J^ est le point : (p — a), etc. 



" ^ aip — a) 



2f/ p p — a 



Si Jo est le point : -, etc., Jj est le point de Nagel : — ■ — , etc. 



1 



Si Jo est le point de Steiner : —— du cercle inscrit, J^ est le 



^ a{b^ — c^) 



(b-' -O" 

 centre de l'hyperbole de Kiepert , etc. 



