loO MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



dans le premier étal de la fjjiure et dans le second. On peut y arriver 

 autrement; en effet, on a (voir Brassive, N. A., 1847. p. 227) : 24 R . V = 



\/{a. a'+b. b' + c.c')(b .b' +c. c' - a.a'){c . c'+a .a-b. b'){a .a' + b. b'-c.c') 



formule vraie dans les deux états de la figure; puisque V devient — Y dans 

 la transformation, il faut que R devienne — R. 



On voit directement, en suivant la continuité dans la figure passant du 

 premier état au second, que : 



a, b. c, a', b', c' 

 deviennent respectivement 



■71 — a, -rr — b, TT — c, a', b', c'; 



que a, p, Y deviennent t: — a, ■:: — |3, n — y. 



/, m, n restent /, m, n, ce qui peut se déduire des formules de Chasles : 

 6V = a. a', l. sin a, et les deux autres analogues. 



Il nous reste à examiner ce que deviennent r, r^, ;-^, r^, i\^, 



/ »' .' 



Etablissons ou rappelons d'abord quelques propositions qui nous seront 

 utiles. 



I 



S'il y a une sphère inscrite dans un comble, c'est que la somme des 

 deux faces qui n'ont pas l'arête de ce comble pour côté est plus grande 

 que la somme des deux autres. 



II 



Soit un triangle ABC, soit M un point quelconque de son plan, 

 \ point dont les distances à RC, CA, AB, sont respective- 



No ment x, y, z. Soit DM la perpendiculaire au plan ARC 



//'A menée par M. Je dis qu'il y aura toujours un point A 



ç, / /IniXa sur 3ID à partir duquel, si l'on prend un point D tel que 



\p-<, \ MD >■ MA, la somme de deux des triangles DRC, DCA, 



^"^' DAR sera plus grande que la somme du troisième triangle 

 \ et de ARC ; en elîet, posons DM :-= /. Les rapports des sur- 

 \ faces des trois triangles DIîC, DCA, DAR sont évidemment 

 les mômes que les rapports des produits : 



V^Tify: V'T(fy: v^ 



