lo8 MATHÉMATIQUES, ASTHO.NOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



On sait que : le plan bissecteur d'un angle dièdre dun tétraèdre ABCD 

 divise l'arèle opposée en deux segments additifs proportionnels aux aires 

 des faces adjacentes à ces segments. 



Le plan bissecteur de l'angle supplémentaire d'un angle dièdre d'un té- 

 traèdre divise l'arête opposée en deux segments soustractifs proportionnels 

 aux aires des faces adjacentes à ces segments. 



Par exemple : 



Si le plan bissecteur de l'angle dièdre a' coupe BC en U' on aura : 



U'B F, 



u'C f; 



et si le plan bissecteur du supplément de a' coupe BC en \L\ on aura 



u;b F, 



u;c F, • 



Les droites qui partagent les arêtes opposées d'un tétraèdre cltacuneen deux 

 segments additifs proportio)inels aux faces adjacentes à ses deux extrémités 

 se coupent toutes les trois en un même point centre de la sphère inscrite au 

 tétraèdre. 



Transformons continûment ce théorème. 



Pour abréger le langage il nous faut de nouvelles notations ; j'appelle : 



U, V, W les points où les plans bissecteurs de a, b, c coupent AD, BD, CD ; 



U', V, W les points où les plans bissecteurs de a', b', c' coupent BC, 

 CV, AB; 



L'i, Vi, Wi les points où les plans bissecteurs des suppléments de m, 6, c 

 coupent AD. BD, CD; 



L'j, V[, Wj les points où les plans bissecteurs des suppléments de«'. b\c' 

 coupent BC, CA, AB. 



Le tliéorème précédent peut alors s'énoncer ainsi ; 



1. Les trois droites L'L', W, WW se coupent en o, centre de la sphère 



inscrite. 

 Transformant continûment en D, puis en \, en V>, en C, on aura : 



2. Les trois droites UjU', ViV, W/W se coupent en o,,. 



3. Les trois droites UiL'', W\, WW, se coupent en o.^. 

 'i. Les trois droites UU',, VjV, \\\\\ se coupent en o^,. 

 o. Les trois droites UL'j, W',. WiW se coupent en o^. 



Si nous transformons en A le théorème 4, on a : 

 (!. Les trois droites UjU',, VjVj, WW se coupent en o'^.; 



