164 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



M. HATOIf LE LA &OÏÏPILLIEEE 



Membre de rinslitul, à Paris. 



SUR LE MINIMUM DU POTENTIEL DE L'ARC [R 5 a a] 



— Séance du i août 1893 — 



I. — Dans le savant Traité du Calcul des variations de Lindelœf et 

 Moigno (1861, p. 253) se trouve envisagé le problème suivant : 



« Trouver la courbe qui a le plus grand ou le plus petit moment 

 d'inertie par rapport à un point donné. » Les auteurs, après avoir dégagé 

 l'équation ditlerentielle de cette ligne sans l'intégrer, concluent « qu'il 

 paraît difïicile d'en tirer quelque résultat simple ». 



Déjà, cependant, Euler avait abordé dans les termes suivants (Methodus 

 inveniemli, etc., 1744, p. 53) une question plus étendue : <.^ Invenire curvam 

 in quâ sit 



[XX + yyf /l +PP dx. 



fi 



maximum vel minimum. » Il suffirait d'exécuter exactement les calculs 

 d'Euler pour obtenir la solution générale, qui comprendrait, pour l'hypothèse 

 n:=\, celle du problème précédent. Mais, par une singulière inadvertance, 

 l'illustre précurseur de Lagrange pour cet ordre de recherches a écrit, dans 

 une partie des termes, 2n au lieu de %i -\- i, ce qui fausse complètement 

 le résultat de son analyse, et conduit à une courbe étrangère à la question. 

 On ne saurait mettre cette inexactitude sur le compte de l'imprimeur, car 

 elle se trouve répétée jusqu'à sept fois dans la suite des calculs. Il arrive 

 même qu'Euler ayant commencé par traiter un cas particulier qui lui 

 fournit à juste titre une hyperbole, celle-ci ne se trouve plus comprise 

 dans la formule linalc, qui a été faussée dans l'intervalle. 



Exactement un siècle plus tard, en 1844, Ossian Bonnet a inséré dans le 

 Journal de Mathématiques pures et appliquées (première série, 1. 1\, p. 97) 

 un intéressant article intitulé : Propriétés géométriques et mécaniques de 

 quelques courbes remarquables. 11 le termine en ces termes ; « Je con- 

 clurai en rappelant une propriété de minimum dont jouissent ces lignes 

 et qui a été indiquée par Euler dans le Methodus inveniendi, p. 53. » La 

 solution, parfaitement exacte, ne renferme aucune allusion à la circons- 



