HATON DE LA GOUPILLIÈRE. — MINIMUM DU POTENTIEL DE l'aRC 165 



tance précédente; soit que l'auteur l'ait juiiéc sans importance (et elle n'en 

 saurait avoir en elîet qu'à un point do vue de curiosité, une erreur 

 d'Euler à relever n'étant pas chose commune), soit peut-être que IJonnet, 

 discernant à travers l'analyse d'Euler compliquée d'imaginaires que la vraie 

 route se trouve dans l'emploi des coordonnées polaires, ait de suite exécuté 

 son propre calcul, en se bornant à en reconnaître superficiellement le 

 résultat dans celui d'Euler, où on le lirait en effet très clairement après 

 y avoir rectifié le lapsus qu'il renferme. 

 Le calcul d'O. Bonnet le conduit à l'équation : 



(1) r''"+' cos(2/i + iVi r= 1. 



les 'lignes qu'elle représente sont (conformément au titre de son mé- 

 moire) fort remarquables par leurs nombreuses et élégantes propriétés. 

 Ces courbes se sont, à diverses époques, présentées à certains géomètres, 

 parmi lesquels je citerai Allégret, Barbier, Fagnano,"Frenet, Lamé, Lho- 

 pital. Luces, Mac-Laurin, Nicolaïdès, Riccati, ^Villiam Roberts, Sacchi, 

 Salmon, Serret, Vieille, etc. Je les ai moi-même rencontrées plusieurs 

 fois, et j'ai donné {Nouvelles Annales de Mathématiques, 2^ série, t. XV, 

 p. 97) un résumé assez étendu de leur théorie réduit aux énoncés et à 

 l'indication des sources correspondantes. 



Dans toutes les recherches que je viens de rappeler, il n'est question que 

 du maximum ou du minimum absolus. Il m'a semblé intéressant de 

 reprendre ici la question pour le maximum ou le minimum relatifs du 

 potentiel de l'arc parmi les courbes qui admettent une même valeur pour 

 le potentiel de l'aire. ?sous laisserons d'ailleurs, pour plus de généralité, 

 •complètement quelconques et indépendantes l'une de l'autre les lois d'at- 

 traction relatives à ces deux potentiels. 



IL — Si l'on imagine, en ce qui concerne l'arc, que l'attraction procède 

 d'après la puissance m — 2 de la distance, son potentiel aura pour 

 expression : 



(2) fr"'-'\/r' + r'-dfi; 



■en admettant, d'autre part, pour Taire une loi d'attraction proportion- 

 nelle à la puissance n — 3 de la distance, son potentiel sera, sauf un 

 facteur constant : 



(3) frMa. 



Nous devons, d'après cela, conformément aux règles du calcul des varia- 

 tions, envisager l'intégrale : 



/va, 



