HATON DE LA GOL'PILLIÈRE. — MINIMUM DU POTENTIEL DE l'aRC 167 



d'où, en intégrant avec une constante arbitraire (m — n)b : 



(6) (m — n) (0 -{- b)= arc tang \/x^ — \ . 



On conclut de là, en supprimant pour simplifier la constante ù, qui n'a 

 d'autre influence que de déplacer l'axe polaire : 



1 



a;^= 1 4- tang^ (m — n) 6 = ; » 



* ^ ^ cos* (m — n)6 



et par suite finalement : 



(7) r'"-"cos(m — n)Or= «"'-«; 



nous retrouvons ainsi, pour le point de vue relatif, la même classe de 

 courbes (1) que pour le minimum absolu (*). 



III. — Il nous reste à efïectuer la distinction du maximum et du mini- 

 mum, en nous assurant tout d'abord que l'on a bien effectivement l'un 

 des deux, et non pas une solution étrangère, ne correspondant ni à l'un 

 ni à l'autre. 



A cet égard, le théorème de Jacobi exige en premier lieu que le rapport 

 des dérivées de la fonction inconnue r par rapport à chacune des deux 

 constantes d'intégration ne passe pas deux fois par la même valeur pour 

 l'amplitude effective de la variable indépendante. 



Or, l'équation (6) nous donne : 



^ 



et par suite 



d7 

 da 



r = a cos'"~" (m — n) (0 + b), 

 1 



^^ = cos"^-" (m - n) (ô + b). 



dr -— -' 



db' 



a cos'" ■' {m — n)(6 + b) . sin (m — n)(Ô + b). 



(*) On remarquera avec soin que la série des potentiels de l'arc ne doit pas comprendre l'hypo- 

 thèse m = i, qui assignerait à ce dernier la lorme logarithmique. Le problème auquel correspond 

 pour celte valeur l'analyse précédente prend alors une autre signification. L'intégrale (2) représente 

 dans ce cas l'arc lui-même. Dès lors l'équation : 



?■""* = «" ^cos(«— 1) 



représente, parmi les courbes isopérimètres, celle qui conduit au maximum du potentiel de l'aire 

 (pour une loi d'attraction procédant suivant la puissance n — 3 de la distance). 



Dans ce résultat, il faut de même excepler de la série des potentiels de l'aire la valeur n = 2, 

 qui donnerait à cette fonction la forme logarithmique. L'intégrale (3) représente alors, sauf une 

 constante, l'aire elle-même. Nous obtenons donc dans l'équation : 



r -^r. a cos 6, 



la solution du problème des isopérimètres pour la courbe daire maximum. Elle représente, en effet, 

 comme on devait s'y attendre, un cercle. 



