168 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



il en résulte ; 



dr 



— =: r/ tangu/; — n)[f) -j- o), 



(/a 

 mais la tangente repasse par la même valeur après ua intervalle angu- 

 laire égal à ::, c'est-à-dire, dans le cas actuel, lorsque aura varié de • 



m — n 



C'est là précisément l'amplitude qui constitue la boucle ou la périodicité 

 de la courbe de module m — n. Telle est donc la limite au-dessous de 

 laquelle nous devons nous tenir pour avoir réellement un maximum ou 

 un minimum. 



La distinction repose alors sur le signe de la dérivée y^ ? laquelle a 



ici pour valeur (4'i : 



d-\ _ r"'+^ 



^~ ï' 



{r^ -h r'^f 



or, le radical est pris positivement dans le calcul précédent, car il y 

 représente la valeur absolue de l'arc élémentaire qui iîgure dans V. La 

 solution (7) correspond donc à un minimum. 



IV. — Il est facile d'obtenir les valeurs effectives que prennent, pour la 

 boucle complète des courbes (7), les potentiels ("2) et (3). 



Je considère en premier lieu le potentiel de l'arc, en supposant que l'at- 

 traction procède suivant une puissance quelconque p — 2 de la distance, 

 et généralisant en outre la question par l'hypothèse d'une densité variable 

 d'après une puissance arbitraire q de la distance i^*j. 



>ious poserons d'après cela pour la domi-lioucle ; 





iim—n) 



rP-'r'i-'^r^j^)-'^dO. 



(*) Celte hypothèse nous permettra d'embrasser dans un seul calcul des problèmes très divers, en 

 raison des propriétés que présentent les spirales sinusoïdes (Haton de la Goipii.lièrb, loco citaio). 

 Je citerai, par exemple, les suivants : 



(/ := — m — 1, densité proportionnelle à la courliure. 



q=. — m + 1, densité proportionnelle à la |)rojoction du rayon vecteur sur la normale. 

 q =. m -\- \, densité proportiouneJle à la normale. 



q -zz m — 1, densité proportionnelle à la vitesse avec laquelle la courbe est parcourue suivant 

 la loi des aires. 

 (/ = m — 3, densité proportionnelle à la force centripète de ce mouvement. 

 9= 2m — 3, densité proportionnelle à la force centrale. 

 9 = 0, courbe homogène. 



