170 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



V. — On peut exprimer de même le potentiel de l'aire. En admettant 

 que l'attraction procède suivant la puissance n — 3 de la distance, il aura 

 pour valeur : 



• 2(m—n) 



^"- ' ' rcMr.r"- 



ff 





formule qui rentre dans le type précédent (8). On obtiendra, par exemple, 

 le potentiel newtonien pour /) = 1, l'aire de la courbe pour /; == 2, et son 

 moment d'inertie en faisant n = 4. 



rs'ous pourrions étendre encore ces recherches et évaluer le potentiel P" de 

 la surface de révolution engendrée par la courbe (7), en la composant 

 même, pour plus de généralité, de zones de densités proportionnelles à r^; 

 ainsi que le potentiel P'" du volume de ce corps de révolution. Les inté- 

 grales auxquelles on se trouve ainsi conduit se ramènent aux fonctions 

 eulériennes. 



Les potentiels P" et V" comprennent comme cas particuliers la superficie 

 elle-même et le volume du corps de révolution. En appliquant à ces 

 expressions les théorèmes de Guldin, on déterminera les centres de gravité 

 du périmètre et de l'aire des spirales sinusoïdes génératrices. 



La théorie des intégrales eulériennes présente, comme on le sait, un 

 certain nombre de formules dans lesquelles le produit de deux ou de 

 plusieurs fonctions r prend une valeur explicite tout à fait indépendante 

 de ce signe de transcendance. Il sera facile de disposer des indéterminées 

 m,n,p,q qui figurent dans les potentiels 1', P', P", P'", de manière à en 

 adapter les facteurs à ces relations. On obtiendra ainsi autant de théorèmes, 

 dont quelques-uns pourraient n'être pas sans intérêt. 



Ces divers calculs sont sans diiïicullé; mais ils excéderaient les liornes 

 dans lesquelles j'ai tenu à renfermer les dimensions de cette note. 



