COCCOZ. — VARIATIONS APPORTÉES AUX CARRÉS MAGIQUES DE HUIT 181 



REMARQUE AU SUJET DES DIAGONALES 



Nous avons dit qu'il est bon, afin d'éviter de recommencer plusieurs 

 lois les mêmes calculs, d'établir la liste des combinaisons qui conviennent 

 pour garnir les diagonales. Cette opération se fait, comme toutes celles 

 que nous avons décrites, sans pour ainsi dire qu'on ait à se préoccuper de 

 la seconde puissance des nombres à grouper, il y a deux cas à considérer 

 suivant qu'il s'agit de composer 130 avec des impairs comme 60 + 60, 

 63 + 67, 61 -f 69, 57 + 73, 9 + 81 et 33 + 97 ; ou avec des couples 

 pairs comme 64 -{- 66. 



Avec les impairs, on emploie les nombres triangulaires. Exemple : il y a 

 trente-deux couples égaux à 65 =: 32 -f- 33 ^ 31 -[- 34 = 30 + 35. . . 

 1 4- 64. Au lieu de ces couples, considérons la suite 1 3 6 ... 496 des 

 nombres triangulaires, précédée de ; la somme de ces nombres est 



^ n{n + i)in + 2) 31 X 32 >< 33 „ . .,-. , , , . t - f pq--) 



S = — ^ = ^ ^ 54ob dont le huitième est 682. 



b 



A toutes les associations de quatre nombres triangulaires qui forment cette 



somme 682 correspondent quatre couples donnant la constante 11.180 au 



second degré. 



On opère d'une façon analogue tant qu'il s'agit de couples impairs en 



observant que : 1° afin de pouvoir former seize carrés élémentaires, il faut 



que 63 soit par : 



12 5 6 9 10 13 14 17 18 21 22 25 26 29 30 

 62 61 58 57 54 53 50 49 46 45 42 41 38 37 34 33 



les trente-deux nombres restants servent à former seize fois 67. 

 2° 61 doit être fait par : 



1 2 3 4 9 10 11 12 17 18 19 20 25 26 27 28 

 60 59 58 57 52 51 50 49 46 44 43 41 36 35 34 33 

 et 69 avec les trente-deux nombres restants. 



3° 57 emploie les nombres consécutifs de 1 à 8 et do 17 à 24 complétés 

 par les suites de 33 à 40 et de 49 à 56 ; il reste pour faire 73 les nombres 

 de 9 à 16 et de 25 à 32 complétés par ceux de 41 à 48 et de 57 à 64. 



4° 49 s'obtient par les consécutifs de 1 à 16 complétés par ceux de 33 

 à 48 et 81 par les consécutifs de 17 à 32 complétés par ceux de 49 à 64. 



5° 33^ emploie les nombres de 1 à 32 et 97 ceux de 33 à 64. 



Dans chacun de ces cas il n'est fait usage que de seize nombres triangu- 



