COCCOZ. — VARIATIONS APPORTÉES AUX CARRÉS MAGIQUES DE HUIT 183 



On sait que si ron élève à la seconde puissance les éléments de couples 

 de forme 



w -f- (« + 2) ; {n — 1) + (n + 3) ; [n - {n - 1) -f (,z + (n + 1), 



on a pour différences successives 6 10 14 18 22 . . ., c'est-à-dire une 

 progression arithmétique dont le premier terme est 6 et la raison 4. Rap- 

 portées toutes au premier couple n"- -[- {n + 2)^ les différences deviennent 

 6 16 30 48, etc., etc., que l'on peut remplacer par la suite naturelle des 

 carrés 1 4 9 16 2o, etc., etc., interrompue comme l'est celle des 

 nombres composant les couples. La somme des seize carrés mis en œuvre 

 est S.4o6, dont le quart est 1.364. Par analogie avec l'emploi des nombres 

 triangulaires, à toutes les associations de quati'e carrés ayant pour somme 

 1.364, correspondent six combinaisons donnant les deux constantes. 



Exemple: 961 correspond à 1 63 et 2 64 



225 » à 17 47 et 18 48 



169 » à 19 4o et 20 46 



9 » à 29 3o et 30 36 



1364 

 d'où l'on déduit les six bonnes lignes suivantes : 



1 + 63 4- 17 -^ 47 + 20 + 46 + 30 + 36 :^ 260 11180 



1 + 63 -I- 18 + 48 + 19 + 4o + 30 + 36 :^ 260 11180 



1 + 63 + 18 + 48 + 20 + 46 + 29 + 35 :^ 260 



o I aL I yio I lo I Âf\ I r, s? i an i o" riii-n 



11180 



2 + 64 + 18 + 48 + 19 + 45 + 29 + 35 ^, 260 11180 

 2 + 64 + 17 + 47+20 + 46 + 29 + 35 -^ 260 11180 

 2 + 64 + 17 + 47 + 19 + 45 J- 30 + 36 ■^. 260 11180 



Dans le mémoire publié en 1892, nous avons fait connaître que 

 M. A. Rilly avait calculé 23.136 bonnes combinaisons de huit nombres 

 pris dans la suite naturelle de 1 à 64 et qu'il comptait en trouver plus 

 de 30.000. Le travail (|ue ce laborieux et habile calculateur avait entre- 

 pris et auquel il ne pouvait se livrer qu'à ses moments perdus est 

 terminé. Le nombre total des combinaisons donnant les deux constantes, 

 pouvant par conséquent entrer dans la composition d'un carré de 8, 

 magique à deux degrés, est 37.534. 



